讨厌的青蛙 问题描述
在韩国, 有一种小青蛙
每到晚上, 这种青蛙会跳跃稻田, 从而踩踏稻子
农民早上看到被踩踏的稻子, 希望找到造成最大损害的 那只青蛙经过的路径
每只青蛙总是沿着一条直线跳跃稻田
且每次跳跃的距离都相同
稻田里的稻子组成一个栅格, 每棵稻子位于一个格点上 而青蛙总是从稻田的一侧跳进稻田, 然后沿着某条直线穿 越稻田, 从另一侧跳出去
可能会有多只青蛙从稻田穿越 青蛙每一跳都恰好踩在一棵水稻上, 将这棵水稻拍倒 有些水稻可能被多只青蛙踩踏 农民所见到的是图4中的情形, 并看不到图3中的直线, 也见不到别人家田里被踩踏的水稻
而在一条青蛙行走路径的直线上, 也可能会有些被踩 踏的水稻不属于该行走路径
① 不是一条行走路径: 只有2棵被踩踏的水稻
② 是一条行走路径, 但不包括 (2,6)上的水稻
③ 不是一条行走路径: 虽然有3棵被踩踏的水稻, 但这3 棵水稻之间的距离间隔不相等
题目要求 请写一个程序, 确定:
在各条青蛙行走路径中, 踩踏水稻最多的那一条上, 有多 少颗水稻被踩踏
例如, 图4中答案是7, 因为第6行上全部水稻恰好构成一 条青蛙行走路径
程序输入
从标准输入设备上读入数据
第一行上两个整数R, C, 分别表示稻田中水稻的行数和 列数, 1≤R, C≤5000
第二行是一个整数N, 表示被踩踏的水稻数量, 3≤N≤5000
在剩下的N行中, 每行有两个整数, 分别是一颗被踩踏水 稻的行号(1~R)和列号(1~C), 两个整数用一个空格隔开
且每棵被踩踏水稻只被列出一次
程序输出
从标准输出设备上输出一个整数
如果在稻田中存在青蛙行走路径, 则输出包含最多水稻 的青蛙行走路径中的水稻数量, 否则输出0
解题思路 — 枚举 枚举什么?
枚举每个被踩的稻子作为行走路径起点 (5000个) 对每个起点, 枚举行走方向 (5000种)
对每个方向枚举步长 (5000种)
枚举步长后还要判断是否每步都踩到水稻 时间: 5000*5000*5000 * , 不行! 10 解题思路 — 枚举 枚举什么? 枚举路径上的开始两点 每条青蛙行走路径中至少有3棵水稻 假设一只青蛙进入稻田后踩踏的前两棵水稻分别是 (X1 ,Y1 ),(X2 ,Y2 ). 那么:
青蛙每一跳在 X 方向上的步长 dX = X2 - X1 , 在 Y 方向上的步长 dY = Y2 - Y1 ;
(X1 – dX, Y1 - dY) 需要落在稻田之外;
当青蛙踩在水稻(X, Y)上时, 下一跳踩踏的水稻是 (X + dX, Y + dY); 将路径上的最后一棵水稻记作(XK , YK ), (XK + dX, YK + dY) 需要落在稻田之外; 11 解题思路:猜测一条路径 猜测的办法需要保证: 每条可能的路径都能够被猜测到
从输入的水稻中任取两棵 作为一只青蛙进入稻田后踩踏的前两棵水稻 看能否形成一条穿越稻田的行走路径 12 解题思路:猜测一条路径 猜测的过程需要尽快排除错误的答案
猜测(X1, Y1), (X2, Y2) -- 所要寻找的行走路径上的前两 棵水稻 当下列条件之一满足时, 这个猜测就不成立：
青蛙不能经过一跳从稻田外跳到(X1, Y1)上
按照(X1, Y1), (X2, Y2)确定的步长, 从(X1, Y1)出发, 青 蛙最多经过(MAXSTEPS - 1)步, 就会跳到稻田之外
MAXSTEPS是当前已经找到的最好答案
13 选择合适的数据结构 选择合适的数据结构
采用的数据结构需要与问题描述中的概念对应 关于被踩踏的水稻的坐标, 该如何定义?
方案1: struct { int x, y; } plants[5000];
方案2: int plantsRow[5000], plantsCol[5000]; 显然方案1更符合问题本身的描述
14 设计的算法要简洁 尽量使用C提供的函数完成计算的任务 猜测一条行走路径时, 需要从当前位置(X, Y)出发上时, 看看 (X + dX, Y + dY)位置的水稻是否被踩踏；
方案1: 自己写一段代码, 看看(X + dX, Y + dY) 是否在数组 plants中
方案2: 先用qsort()对plants中的元素排序, 然后用bsearch()从 中查找元素(X + dX, Y + dY) 基于方案2设计的算法更简洁, 更容易实现, 更不容易出错误 通常, 所选用的数据结构对算法的设计有很大影响
15 注意:
一个有n个元素的数组, 每次取两个元素, 遍历所有取法
代码写法: for( int i = 0; i < n – 1; i ++ ) for( int j = i + 1; j < n; j ++ ) { a[i] = …; a[j] = …; }
参考程序：
//x方向过早越界了. 说明本次选的第二点不成立 //如果换下一个点作为第二点, x方向步长只会更大, 更不成立, 所以应该
//认为本次选的第一点必然是不成立的, 那么取下一个点作为第一点再试
小 结 ：
枚举顺序十分重要, 好的枚举顺序, 能够及早排除不可 能的情况, 减少枚举次数 本题将踩倒的水稻按照位置进行排序, 枚举的时候先枚 举序号低的, 就能够有效减少枚举次数, 体现在： if (plants[ i ].x + (max - 1) * dX > r) break;
//x方向过早越界了. 说明本次选的第二点不成立
//如果换下一个点作为第二点, x方向步长只会更大, 更不成立
//所以应该认为本次选的第一点必然是不成立的,
//那么取下一个点作为第一点再试
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