在高等数学中，罗尔定理是用来推导两大微分中值定理－拉格朗日中值定理和柯西中值定理的。但是考察罗尔定理题目却比两大微分中值定理的题目更常见和常考。因此，我们一定要会用罗尔定理。

下面是罗尔定理的内容(来自同济六版《高等数学》)

学高数的同学们都知道，关于罗尔定理的题目，要证明的一般都是:存在一点ξ∈某个开区间，使得某个等式(此等式可看做是关于ξ的微分方程)成立。

而证明时，需要设一个辅助函数，然后对这个辅助函数应用罗尔定理，那么这个辅助函数怎么设呢？

以前我学习《数学分析》时，老师没讲怎么求，故每次碰到这种题，我都是按照后面那个ξ的等式猜一个，再求导试一试，很耽误时间。后来，做题做多了，我就发现原来辅助函数是可以求出来的。

下面以一个简单的题目为例，来展示求辅助函数的方法。

例题:设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且f(a)=0，证明存在一点ξ∈(0，a)，使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.

下面求辅助函数:

将等式f(ξ)+ξf'(ξ)=0中的ξ换成x，即变成关于x的微分方程f(x)+xf'(x)=0，解此方程，即

f'(x)=-f(x)/x，

df(χ)/f(x)=-dx/x,

㏑|f(x)|=-㏑|x|+㏑|C|，

得f(x)=C/x，即C=xf(x)

所以辅助函数可设为F(x)=xf(x).

此题的证明过程如下所示:

设F(x)=xf(x)，则显然F(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且F(0)=0，F(a)=af(a)=0，故由罗尔定理得，存在一点ξ∈(0，a)使F'(ξ)=0，即f(ξ)+ξf'(ξ)=0，得证.

温馨提示：求辅助函数的过程尽量在草稿纸上进行，答题时开头直接写设辅助函数为~~

下面是三个关于罗尔定理的应用题目。