文/草根雾岩,【来源】理科班数学（许兴华数学/选编）

比例线段的教学进入了深水区，师生友谊的小船说翻就翻！

已经知道：三角形一边的平行线截另两边或其延长线所得的线段成比例（A 字型及 8 字型）. 可以把这条性质理解成三角形一边平行截线的性质。

现在考查 斜截线 的性质，也即：一条与三角形三边都不平行的直线，截三边或其延长线所得的线段是否依然有比例关系？ 答案是肯定的，这就是著名的梅涅劳斯定理（下称梅氏定理）。

1. 梅涅劳斯定理的证明

如图所示，试证明：

它的证明方法很多，为方便教学，介绍两种化规为 A 字型及 8 字型的解法. 证明一：

证明 2：

2. 定理的记忆方法

可以采用下面的方法迅速的写好梅氏定理中成比例的六条线段，步骤是：

(1) 确定截线和被截三角形；

(2) 先轮换写出被截三角形的三个顶点；

(3) 轮换写出截线上与三角形两个顶点共线的点：例如图中的 D 和 A、B 共线，F 和 C、B共线，E 和 D、F共线 .

还是太复杂？ 请看动态图：

3. 同一幅图的其他情形

上面研究的直线 DEF 截 △ABC 所得到的线段间的比例关系。由于题图可以看成是 4 条直线构成的，因而还可以找到三对截线和三角形：

当然，上面三个加前面所证的四个比例式，只要一个成立，另外三个也同时成立，不过这是后话：梅氏定理的逆命题也成立。

4. 梅氏定理的应用

所有涉及三角形斜截线的问题都可以首先考虑梅氏定理。此处仅举两例：

第 1 题

所求线段和已知线段所在直线构成三角形（绿色），故应选用直线 AFE 截 △CDB.

第 2 题

如图，已知 AD 是 △ABC 的中线，E、F 分别在 AB、AC上，联结 EF 与 AD 交于点 G. 试证明：

解答起来并不困难：

【附注】：

（1） 戏称其为“梅赛德斯奔驰定理”、“美女老师定理”；

（2） 梅涅劳斯定理是射影几何中的基本定理，从三维到二维证明梅氏定理非常优雅！