从 1+1 到混沌 | Mathematica 软件入门教程

前言

Mathematica 是一款符号计算软件。为什么要学习Mathematica？在一些科研工作中，「敏捷」是非常重要的。有的时候，一个点子想出来了，如果觉得自己半个小时就能验证，那大多数人就会立刻去做；而若是觉得这个点子需要大量的时间来验证，心生畏惧，可能就会拖着、甚至不做。这样就会产生非常大的效率差异。（有研究证实，Mathematica的平均代码量，正比于C语言代码量的开根号）

关于为什么要使用 Mathematica，可以参考这篇文章：

《Paper 已经过时——计算机时代科学传播方式的变革》

Mathema tica 视频教程

Mathematica 概述（6分钟，免费）

本文视频教程（24分钟，免费）

作者在集智AI学园开设的 Mathematica 系列课程已经上线，持续更新中。课程视频教程中会有更多细节，建议以视频为主，文稿为辅

1+1
帮助文档
表达式与输入
绘图微分方程/函数
科研层级的 Mathematica 工程

大家好，这是我们的第一节Mathematica课程。在每一节课程中，我都会用一个完整的例子，来教大家学习Mathematica的常用操作。

我们知道，在风雨、雷电，这些自然现象的背后，可能存在着非常简洁的物理学规律。但精确的天气预报却一直是一个难题，在四十年前，七天天气预报的准确度在40%左右徘徊，时至今日，准确度也刚刚超过了「及格线」——60%。

而预报的困难，来自于「混沌」。一个「混沌系统」，对于初值非常敏感，而由于计算技术的限制，误差总是不可避免，因此，我们对混沌系统，是无法作出长期、精确的预测的。而气象体系，恰恰是一个混沌、复杂的系统。

在近六十年之前，Lorenz在研究大气对流的时候，发现自己列出的方程组，对初值非常敏感，一点点扰动，就会在后期，产生巨大的差异。这就是著名的「洛伦兹系统（Lorenz System）」。而要能研究这类系统，就需要使用计算机去处理微分方程，对计算结果进行可视化处理。而Mathematica，则是进行这些工作的绝佳选择。

这是我们的第一节Mathematica课程，我想以洛伦兹系统为引子，来介绍基本的Mathematica操作。包括软件的基本操作与设置，常用的代码。同时，我会介绍在实际的科学研究中，如何管理一个Mathematica工程。

如何获取正版的Mathematica软件：国内的用户，一般推荐从中科院软件中心购买（邮件联系：mathematica@sec.ac.cn, xmi@sec.ac.cn），会有很大的优惠。

1+1

Mathematica拥有非常先进的符号计算系统，以及强大的数值计算系统。但在一开始，我先演示一下最基本的计算操作。

欢迎界面

在欢迎界面，直接点击左上角的「新文档」，就可以新建一个「笔记本」。「笔记本」（notebook），是Mathematica中最常用也最便捷的文档格式。

笔记本

这里可以看到一个横向的光标，可以直接输入代码，输入之后，就会变为常见的纵向光标。我们首先进行最为基本的计算：1+1

输入：1+1，按下Shift+Enter，就会在下面得到计算结果：2

注意下面会出现一个「建议栏」。建议栏的作用，就是根据输出的结果，提示一些相关的操作。这在初期阶段，是非常有用的学习资源，建议开启。

比如说，我们做另一个计算：1234+4321，得到：

直接点击「质因数分解」，就会自动生成新的计算单元：

那么借这个机会，我们就可以了解质因数分解需要什么函数来处理。而要深入学习的话，则可以点击这个函数，按F1，或者右键点击「获取帮助」，来查看Mathematica的帮助文档。Mathematica的帮助文档写的非常好，非常容易理解。

帮助文档

Mathematica的帮助文档是Mathematica的创始人，Stephen Wolfram亲自写作的。Wolfram的经历非常传奇，他在15岁的时候就发表了第一篇粒子物理学论文，并发表在学术期刊上（http://www.stephenwolfram....hadronic-electrons.pdf）。而后来，他转向对元胞自动机的研究，也「顺便」开发了Mathematica语言（现在叫 Wolfram Language）。

作为自己亲手缔造的语言，Wolfram自然在帮助文档上下足了功夫。比如，在帮助文档下面，会有「参见」栏，会列出相关的函数。很多时候，如果你觉得应该有某个函数，但又不知道的时候，就可以利用「参见」栏，跳跃式的查找相应的函数。

举个例子：我们想找到「给出下一个素数」的函数。当我们熟悉了Mathematica之后，其实在直觉上可以判断，某个功能的函数是否存在。以我的经验，这个函数是大概率存在的。那么，我们从素数Prime开始查找，可以看到，「参见」栏中，有一个叫做「NextPrime」的函数，很明显，就是我们要找的函数。

顺便说一句，建议栏还存在一些bug，当输出数据非常庞大的时候，可能会引起内核崩溃。即使是我们使用分号关闭显式的输出时，建议栏也可能引发崩溃。所以在熟悉了Mathematica之后，反而会建议大家关闭。

好，参考文档暂时打住，我们回到一开始的主要目标：构造洛伦兹系统。

表达式与输入

我们知道，公式是数学、物理研究的基石之一。所以在一开始，我们就要学会基本的表达式输入。最基本的表达式，就是单个的符号。比如说，a, b, c这样的代数式。我们试着计算(a+b)/b：

这里我们用control+/键，可以输入手写形式的表达式。非常直观，后面在使用的时候，会一一演示。大家也可以直接看屏幕左下角的键位记录。

可以看到，Mathematica似乎就是按照原式直接输出了，没有进行化简。实际上如果我们输入a-a的话，可以看到，Mathematica是进行了最基本的化简的：

想要化解前面的式子，我们可以使用Simplify函数：

这里还是没有任何变化。这是因为Mathematica认为这样的表达式比a/b+1还要简洁一些。我们试一试其他表达式：

在表达式的后面，我们加上一些限制条件。Mathematica默认代数符号是属于复数域的，想要化简为下面的形式，就必须制定a,b是实数。

对于一些特殊的符号，比如 α、β ，可以用ESC+a+ESC, ESC+b+ESC来输入，这在后面也会逐步介绍。

绘图

学会输入表达式之后，我们就可以进行函数的可视化输出了。

使用Plot函数进行绘图。Plot函数的格式非常简洁：Plot[函数，{变量，变量最小值，变量最大值}]

进一步的，有Plot3D函数：

Mathematica中，绘图函数基本都是这样的格式：函数名[表达式/数据，范围]。所以就不赘述了，在视频教程中，有详细的解读。

微分方程/函数

前面说到，洛伦兹系统是由微分方程表示的。Mathematica中，使用DSolve解符号微分方程，使用NDSolve解数值微分方程。先从DSolve开始说：

其中C[1]，表示第一个待定系数，而且任意一个C[1]都是上面微分方程的解。如果有多个表达式，可以使用花括号括起来。上面解的方程，其实就是：

可以引入边界条件：

我们来尝试一下解洛伦兹方程：

可以看到，Mathematica并没有解这个方程，而是直接把输入代码直接输出了。这是因为这类方程通常都没有解析解，自然也无法直接表达出来。

这个时候，我们就需要使用数值方法来解方程。Mathematica提供了NDSolve来解数值微分方程。

其给出了一个替换列表，即将x,y,z分别替换为对应的插值函数。

这个时候，我们就可以进行可视化操作了：

上图中，{x[t],y[t],z[t]}/.ans的意思是，使用ans中定义的x,y,z，来替换/.之前的xyz，这样就可以将图像绘制出来。

这里有很多这些，可以通过修改PlotPoints来获得更加平滑的图像：

我们可以看到，这个方程的系数都是在代码中给定的，如果我们想要修改系数的话，就需要回到前面的代码中手动去改。这样就很不方便，我们定义一个函数来返回计算结果：

函数在本质上，是一个「替换规则」。比如上图中的，就是要将 ρ、σ、β 替换为后来调用时的数值。而在调用函数时，Mathematica使用的是「模式识别」。只要符合L[{., ., .}, {., ., .}, .]的形式，都会使用后面的定义。而若是有差别，则不会报错，而是原样输出。

由于这个性质，我们可以定义很多有意思的函数，比如说：

可以直接在Mathematica中按照这样的格式定义，非常形象。（具体参见视频教程）

科研层级的Mathematica工程

如果你处理过大规模的Mathematica程序，就会发现，每一次关闭、再打开的时候，都要重新运行之前定义过的函数。有时候有几十个函数层层嵌套，处理起来很费时间。有时在函数中间，还会夹杂一些其他的代码，会使得人在处理的时候，非常难受。

这个时候，就要引入Mathematica的程序包。在重新打开程序的时候，直接导入程序包，就可以导入所有需要的函数，效率会非常高。

而更重要的是，使用程序包将代码打包，会在分享程序的时候非常有用。别人不清楚你代码的结构，如果直接一个notebook文件发过去，他通常无法正确使用。而用程序包打包之后，问题就引刃而解了。

程序包的使用细节，参见视频教程。

本文视频教程：Mathematica 从1+1到混沌（24分钟，免费）

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