两千多年前，欧几里得写下了寥寥几条公理，历尽沧桑千百年，一直被人们奉为演绎推理的登峰造极之作。19世纪之前，人们认为，通过这区区几条公理，所有几何知识都可以一网成擒，人们甚至把这些公理当做不言而喻的事实，因而无需任何证明。18世纪的哲学家康德在创建《知识论》时，其中就援引欧氏几何，并推崇说它是通过纯理性推演而非观察所得到的有关宇宙的颠扑不破的真理。

然而，在欧氏几何公理中，其中有一条公理总是显得不如其他公理那样滴水不漏，这条公理就是“平行假定”。它的意思是：若一条线段与两条直线相交，若在其一侧所得的两个内角之和小于180度，则这两条直线在不断延长后，必于内角和小于180度的一侧相交。这一假定的应用之一，便是用来证明平面三角形的三个内角之和等于180度。许多数学家感觉“平行假定”本身并不错，但还远远达不到“不言而喻”的程度。

19世纪初应该算是个革命的时代，社会革命和工业革命正如日中天，而类似的事件也发生在几何学领域中。有三位数学家分别独立大胆设想了前人从未设想过的情况：或许在平行假定实际上不成立的条件下，也会存在有效的几何学。这种几何将公然违反欧几里得在两千多年前设定的公理中的其中一个，而这将创建一种非欧几何。非欧几何时代即将被开创，而开创这个时代的三位数学家分别是：卡尔·弗里德里希·高斯、亚诺什·波尔约和尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基。

三位革命者中的第一位是高斯，他是那个时代最负盛名的数学家。大约在1820年，高斯已经在大脑中确认了可以建立另外一种非欧几何的想法，然而，他却从来没有公开发表过他的想法，他只在与友人的通讯中模糊地暗示过，最重要的证据可以在他写给朋友贝塞尔的一封信中找到。但高斯缺乏勇气将他的证明公之于众，他担心受到传统的抨击而危及自己的地位。第二位革命者是波尔约，他的父亲沃尔夫冈·波尔约和高斯是学生时代的密友。父亲曾经规劝波尔约不要试图去证明平行假定，但波尔约没有听从父亲的劝告，最终写下了一篇24页的论文，他自己称之为“宇宙中的绝对科学”，并随后发表了这篇论文。当高斯看到这篇论文后，发现与自己的想法不谋而合。但高斯告诉波尔约，他发明的非欧几何其实毫无新意，自己早就想到了。高斯的话对波尔约来说是一个沉重的打击，波尔约自此后终其一生再未发表过任何一篇数学论文。

高斯不仅自己缺乏发表新发现的勇气，还打击了一个满怀抱负的年轻数学家的自信心。这让非欧几何为世人瞩目的大部分功绩非第三位发现者莫属，他就是俄国数学家罗巴切夫斯基。他最先在俄国一份杂志上发表了他的非欧几何版本，而且还撰写了有关非欧几何的论文和书籍。但在那个欧氏几何盛行的时代，虽然他勇于革命，但并没有在有生之年得到应该得到的赞扬。但今天，他以被认为是俄国第一流伟大的数学家，他发明的几何被称为“罗巴切夫斯基几何”，西方数学家则更为贴切地称之为“双曲线几何”。

我们现在可以看到，世界上并非只有一种“自然”的几何，而是存在着形形色色的几何，它们有着不同的曲率，这些几何从平面几何（欧氏几何）到球面几何（蚂蚁几何），再到双曲线几何（鲸鱼几何）。但还没有结束，这些只不过是具有不变曲率的几何，后来者还发现了曲率随着时空维度改变的几何，它可以是二维、三维、四维、五维甚至更高维度的几何，高维几何的开创者就是高斯的学生——波恩哈德·黎曼。

高维几何这一理论假设我们的四维时空具有各处不同的曲率，这为20世纪的一项划时代的发现做好了前期准备，这项划时代的发现就是爱因斯坦的广义相对论。可以这样说，如果没有高斯、波尔约、罗巴切夫斯基和黎曼，爱因斯坦将永远无法写下他的著名方程。