中考数学：因多动症产生的一系列问题——二次函数中的旋转变换

不得不说，近年来中考数学出题老师越来越爱运动了。所以动不动就旋转、跳跃，动点轨迹，还将这些多动症的良好（biantai）习惯引入到中考数学。并且研究出一系列的因多动症产生的问题：因动点产生的等腰三角形问题，折叠问题，因动点产生的相似三角形问题……

估计连高考“数学帝”葛军老师看了都不得不感叹：多动症的出题老师，你做人太数学了！

葛军老师：我也是一个高考的“受害者”（苦笑）。

还好，中考数学不是葛军老师出的题。要不然，估计吐槽声一浪翻过一浪。

还是回到中考数学吧！二次函数估计都已经考烂了吧。于是中考热点又将几何变换（例如：折叠变换、旋转变换）的毒瘴融入到二次函数中。让二次函数也发生一些列多动症的变化，例题下面这题：二次函数中旋转变换产生的等腰三角形问题。

二次函数中因旋转产生的等腰三角形问题

例题、如图1，已知二次函数y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图像过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为-8/3 ，直线l的解析式为y=x．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；

（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．

【解析】

【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣8/3 ），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）^2﹣8/3，把（0，0）代入得到a=2/3 ，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，2/3m^2﹣8/3m），B（﹣2/3m2+ 11/3 m，0），由E、B关于对称轴对称，可得[m+(-2/3m^2+11/3m] /2=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；

【参考答案】

（1）解：由题意抛物线的顶点坐标为（2,- 8/3），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）^2﹣8/3 ， 把（0，0）代入得到a=2/3 ，

∴抛物线的解析式为y= 2/3（x﹣2）^2﹣8/3 ，即y=2/3 x2﹣8/3x

（2）解：如图1中，设E（m，0），则C（m，2/3m^2﹣8/3m），B（﹣2/3m^2+11/3 m，0），

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式，旋转的性质，二次函数的实际应用-几何问题。

小结

既然中考数学热点，多动症患者（出题老师）的惯例是：让压轴题动起来！那么今年中考的你还在等什么？

动起来，为新的力量喝采！

动起来，每一秒都期待！

动起来，为新的纪录喝采！

动起来，就拥有精采未来！