2019年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题与竞赛过程常见问题解答|163

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2019全国大学生数学建模竞赛试题于昨晚公布了，学友们都看到真题了吗？不管咱们是否参赛，也一起来见识一下让大学生们为之疯狂竞赛真题吧！当然，如果你正在参赛，或者准备参赛，则应该好好的看看参赛注意规范以及竞赛过程中要注意的问题，这样更能做到心中有数，事半功倍！

首先回答问题：
1、竞赛开始时间和结束时间？答：竞赛开始时间为2019年9月12日18:00，结束时间为2019年9月15日20:00。
2、竞赛题目及获取方式？答：2019年竞赛分为A，B，C，D，E五道题，其中A、B、C题为本科组竞赛题目，供本科参赛者选择，D、E题为专科组竞赛题目，但专科组参赛者除选择专科组题目外也可以选择本科组题目完成。竞赛题目从网络上发布，主要发布网站包括：竞赛报名官网： http://cumcm.cnki.net
全国数模竞赛官网： http://www.mcm.edu
数学建模网： http://www.shumo.com
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3、竞赛论文格式规范是什么？答：竞赛论文基本格式规范见全国数模竞赛官网www.mcm.edu.cn，值得注意的是论文格式规范中纸质论文和电子论文略有不同，纸质打印论文要求在论文中包含承诺书和编号页而电子论文要求不得包含这两页。部分赛区不收纸质论文，因此只需要按照电子论文格式要求提交即可。
4、什么是承诺书和编号页？答：承诺书是竞赛要求每支参赛队必须认真阅读并遵守竞赛规则的承诺前面，承诺书要求参赛队员在填写相关信息后进行签名；编号页是竞赛评阅过程中使用的一页编码页，对于参赛队来说没有特别作用。承诺书和编号页只用于纸质论文使用，部分赛区只提交电子版论文不提交纸质论文时不需要使用它们，这样的赛区一般会要求承诺书和编号页单独提交，参赛队按照赛区要求完成。
5、在竞赛报名官网如何登录查看信息？答：竞赛报名官网由多级权限管理，参赛学生登录账号为报名时学生的手机号，登录初始密码为手机号后六位，若手机号曾经注册过知网相关系统显示无法登录，可采用原密码登录或点击忘记密码通过手机重置密码。学生登录后可查看个人信息或选题等。学校负责老师登录可查看本校学生报名情况、提交md5情况等。赛区管理员登录可进行赛区信息管理。
6、竞赛开始后需要进行选题登记吗？答：当前竞赛报名系统不要求竞赛选题后立刻登录系统进行选题登记，但提交竞赛作品是需要进行选题。
7、参赛队队号的用处及如何知道？答：每个参赛队都有一个唯一的参赛队号，该队号由赛区和学校负责老师进行分配，参赛队员可登录全国报名系统查看或咨询学校负责老师。参赛队号主要用于为竞赛作品命名。
8、竞赛如何交卷？答：（1）竞赛交卷采用专用交卷客户端，参赛者可登录全国报名官网下载交卷客户端。交卷客户端登录账号和密码为参赛队第一名队员的账号和密码。登录进去后，客户端将显示竞赛提交流程，按照软件提示完成竞赛作品提交工作。（2）交卷分为两个步骤：第一步为提交竞赛作品（论文+支撑材料）的MD码，提交截止时间为2019年9月15日22:00，但9月15日20:00后只有一次提交机会，20:00之间可以重复提交，以最后一次提交为准；第二部为提交竞赛作品（论文+支撑材料），截止时间为2019年9月16日20:00.
9、竞赛作品的MD5码是什么，如何生成？答：论文的MD5码是与论文一一对应的一个唯一标识码，论文的任意改动均将使得MD5码发生改变，包括如word文件的重新打开即使无修改也可能改变，pdf 文件打开关闭不会导致MD5改变。支撑材料类似。竞赛作品的MD5码由交卷客户端统一生成，参赛者无需为此烦恼。
10、竞赛作品包括什么？有什么要求？
答：网络提交的竞赛作品包括论文和支撑材料，论文为pdf或word格式，论文pdf文件中不能包含任何参赛队个人信息，包括参赛队号，论文的第一页应为摘要页，不能包含承诺书和编号页，论文最后应通过附录形式包含解答时的主要程序；支撑材料是支撑竞赛论文的相关佐证材料，为zip压缩格式，支撑材料中应包含完成解答的全部代码，相关佐证图表或数据等。支撑材料中所有文件不能包含参赛队个人信息，部分题目若提出要提交竞赛结果，若题目对结果文件有专门要求，则按照题目要求。
11、竞赛中可以参与微信、qq群等讨论赛题吗？
答：除参赛小组三人组成的三人群外，参赛队员不得在竞赛过程中不得在任何群中讨论赛题，不管是主动还是被动。
12、竞赛过程中可以与指导老师或组外人员讨论赛题吗？答：不能。
13、竞赛开始后参赛队个人信息还能改动吗？答：竞赛开始后不能改动了。
14、竞赛作品的MD5提交后还能重复提交吗？答：9月15日20:00前可重复提交，20： 00后只能提交一次，特别注意的是参赛者本机上的提交时间不是作品的提交时间，由于可能的网络延迟，作品MD5码被服务器接受的时间才是论文提交时间。
15、提交MD5码后，提交论文时无法成功的原因是什么？答：可能存在以下原因：（1）论文或支撑材料后续改动导致MD5改变，特别注意两个提交材料任何一个都不得改动；（2）网络或本地机器原因，往届竞赛中也出现过网络原因导致无法提交，更换网络或电脑。
16、客户端登录时报504错误？答：在确认账户和密码正确前提下，根据以往经验，504错误可能指的是网络流量过大导致的，请稍后再尝试登录。
17、竞赛过程可以参考相关文献吗？可以使用别人写的通用程序吗？答：可以，但不得抄袭文献，规范引用，使用他人研究成果（包括程序）必须在参考文献和中进行说明，在正文中给出引用。使用他人程序应单独说明，并且尽可能不要放在论文附录中。论文附录中应该放的是参赛队自己编写的主要程序。

最后一起来看看今年的竞赛真题：

0 1 A题

高压油管的压力控制

燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础，图1给出了某高压燃油系统的工作原理，燃油经过高压油泵从A处进入高压油管，再由喷口B喷出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷出的燃油量出现偏差，从而影响发动机的工作效率。

图1 高压油管示意图

问题1.某型号高压油管的内腔长度为500mm，内直径为10mm，供油入口A处小孔的直径为1.4mm，通过单向阀开关控制供油时间的长短，单向阀每打开一次后就要关闭10ms。喷油器每秒工作10次，每次工作时喷油时间为2.4ms，喷油器工作时从喷油嘴B处向外喷油的速率如图2所示。高压油泵在入口A处提供的压力恒为160 MPa，高压油管内的初始压力为100 MPa。如果要将高压油管内的压力尽可能稳定在100 MPa左右，如何设置单向阀每次开启的时长？如果要将高压油管内的压力从100 MPa增加到150 MPa，且分别经过约2 s、5 s和10 s的调整过程后稳定在150 MPa，单向阀开启的时长应如何调整？

图2 喷油速率示意图

问题2.在实际工作过程中，高压油管A处的燃油来自高压油泵的柱塞腔出口，喷油由喷油嘴的针阀控制。高压油泵柱塞的压油过程如图3所示，凸轮驱动柱塞上下运动，凸轮边缘曲线与角度的关系见附件1。柱塞向上运动时压缩柱塞腔内的燃油，当柱塞腔内的压力大于高压油管内的压力时，柱塞腔与高压油管连接的单向阀开启，燃油进入高压油管内。柱塞腔内直径为5mm，柱塞运动到上止点位置时，柱塞腔残余容积为20mm3。柱塞运动到下止点时，低压燃油会充满柱塞腔（包括残余容积），低压燃油的压力为0.5 MPa。喷油器喷嘴结构如图4所示，针阀直径为2.5mm、密封座是半角为9°的圆锥，最下端喷孔的直径为1.4mm。针阀升程为0时，针阀关闭；针阀升程大于0时，针阀开启，燃油向喷孔流动，通过喷孔喷出。在一个喷油周期内针阀升程与时间的关系由附件2给出。在问题1中给出的喷油器工作次数、高压油管尺寸和初始压力下，确定凸轮的角速度，使得高压油管内的压力尽量稳定在100 MPa左右。

图3 高压油管实际工作过程示意图

图4 喷油器喷嘴放大后的示意图

问题3.在问题2的基础上，再增加一个喷油嘴，每个喷嘴喷油规律相同，喷油和供油策略应如何调整？为了更有效地控制高压油管的压力，现计划在D处安装一个单向减压阀（图5）。单向减压阀出口为直径为1.4mm的圆，打开后高压油管内的燃油可以在压力下回流到外部低压油路中，从而使得高压油管内燃油的压力减小。请给出高压油泵和减压阀的控制方案。

图5 具有减压阀和两个喷油嘴时高压油管示意图

注1. 燃油的压力变化量与密度变化量成正比，比例系数为，其中为燃油的密度，当压力为100 MPa时，燃油的密度为0.850 mg/mm3。为弹性模量，其与压力的关系见附件3。

注2. 进出高压油管的流量为，其中为单位时间流过小孔的燃油量（mm3/ms），为流量系数，为小孔的面积（mm2），为小孔两边的压力差（MPa），为高压侧燃油的密度（mg/mm3）。

附件1：凸轮边缘曲线

附件2：针阀运动曲线

附件3：弹性模量与压力的关系

完整试题及附件通过文后给出的下载链接直接下载

0 2 B题

“同心协力”策略研究

“同心协力”（又称“同心鼓”）是一项团队协作能力拓展项目。该项目的道具是一面牛皮双面鼓，鼓身中间固定多根绳子，绳子在鼓身上的固定点沿圆周呈均匀分布，每根绳子长度相同。团队成员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。项目开始时，球从鼓面中心上方竖直落下，队员同心协力将球颠起，使其有节奏地在鼓面上跳动。颠球过程中，队员只能抓握绳子的末端，不能接触鼓或绳子的其他位置。

图片来源：https://yjs.syu.edu.cn/_mediafile/yjs/2017/10/26/32yuesec78.png

项目所用排球的质量为270 g。鼓面直径为40 cm，鼓身高度为22 cm，鼓的质量为3.6 kg。队员人数不少于8人，队员之间的最小距离不得小于60 cm。项目开始时，球从鼓面中心上方40 cm处竖直落下，球被颠起的高度应离开鼓面40 cm以上，如果低于40cm，则项目停止。项目的目标是使得连续颠球的次数尽可能多。

试建立数学模型解决以下问题：

1. 在理想状态下，每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度，试讨论这种情形下团队的最佳协作策略，并给出该策略下的颠球高度。

2. 在现实情形中，队员发力时机和力度不可能做到精确控制，存在一定误差，于是鼓面可能出现倾斜。试建立模型描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系。设队员人数为8，绳长为1.7m，鼓面初始时刻是水平静止的，初始位置较绳子水平时下降11 cm，表1中给出了队员们的不同发力时机和力度，求0.1 s时鼓面的倾斜角度。

表1 发力时机（单位：s）和用力大小（单位：N）取值.

3. 在现实情形中，根据问题2的模型，你们在问题1中给出的策略是否需要调整？如果需要，如何调整？

4. 当鼓面发生倾斜时，球跳动方向不再竖直，于是需要队员调整拉绳策略。假设人数为10，绳长为2m，球的反弹高度为60cm，相对于竖直方向产生1度的倾斜角度，且倾斜方向在水平面的投影指向某两位队员之间，与这两位队员的夹角之比为1:2。为了将球调整为竖直状态弹跳，请给出在可精确控制条件下所有队员的发力时机及力度，并分析在现实情形中这种调整策略的实施效果。

0 3 C题

机场的出租车问题

大多数乘客下飞机后要去市区（或周边）的目的地，出租车是主要的交通工具之一。国内多数机场都是将送客（出发）与接客（到达）通道分开的。送客到机场的出租车司机都将会面临两个选择：

(A) 前往到达区排队等待载客返回市区。出租车必须到指定的“蓄车池”排队等候，依“先来后到”排队进场载客，等待时间长短取决于排队出租车和乘客的数量多少，需要付出一定的时间成本。

(B) 直接放空返回市区拉客。出租车司机会付出空载费用和可能损失潜在的载客收益。

在某时间段抵达的航班数量和“蓄车池”里已有的车辆数是司机可观测到的确定信息。通常司机的决策与其个人的经验判断有关，比如在某个季节与某时间段抵达航班的多少和可能乘客数量的多寡等。如果乘客在下飞机后想“打车”，就要到指定的“乘车区”排队，按先后顺序乘车。机场出租车管理人员负责“分批定量”放行出租车进入“乘车区”，同时安排一定数量的乘客上车。在实际中，还有很多影响出租车司机决策的确定和不确定因素，其关联关系各异，影响效果也不尽相同。

请你们团队结合实际情况，建立数学模型研究下列问题：

(1) 分析研究与出租车司机决策相关因素的影响机理，综合考虑机场乘客数量的变化规律和出租车司机的收益，建立出租车司机选择决策模型，并给出司机的选择策略。

(2) 收集国内某一机场及其所在城市出租车的相关数据，给出该机场出租车司机的选择方案，并分析模型的合理性和对相关因素的依赖性。

(3) 在某些时候，经常会出现出租车排队载客和乘客排队乘车的情况。某机场“乘车区”现有两条并行车道，管理部门应如何设置“上车点”，并合理安排出租车和乘客，在保证车辆和乘客安全的条件下，使得总的乘车效率最高。

(4) 机场的出租车载客收益与载客的行驶里程有关，乘客的目的地有远有近，出租车司机不能选择乘客和拒载，但允许出租车多次往返载客。管理部门拟对某些短途载客再次返回的出租车给予一定的“优先权”，使得这些出租车的收益尽量均衡，试给出一个可行的“优先”安排方案。

0 4 D题

空气质量数据的校准

空气污染对生态环境和人类健康危害巨大，通过对“两尘四气”（PM2.5、PM10、CO、NO2、SO2、O3）浓度的实时监测可以及时掌握空气质量，对污染源采取相应措施。虽然国家监测控制站点（国控点）对“两尘四气”有监测数据，且较为准确，但因为国控点的布控较少，数据发布时间滞后较长且花费较大，无法给出实时空气质量的监测和预报。某公司自主研发的微型空气质量检测仪（如图所示）花费小，可对某一地区空气质量进行实时网格化监控，并同时监测温度、湿度、风速、气压、降水等气象参数。

由于所使用的电化学气体传感器在长时间使用后会产生一定的零点漂移和量程漂移，非常规气态污染物（气）浓度变化对传感器存在交叉干扰，以及天气因素对传感器的影响，在国控点近邻所布控的自建点上，同一时间微型空气质量检测仪所采集的数据与该国控点的数据值存在一定的差异，因此，需要利用国控点每小时的数据对国控点近邻的自建点数据进行校准。

附件1.CSV和附件2.CSV分别提供了一段时间内某个国控点每小时的数据和该国控点近邻的一个自建点数据（相应于国控点时间且间隔在5分钟内），各变量单位见附件3。请建立数学模型研究下列问题：

1. 对自建点数据与国控点数据进行探索性数据分析。

2. 对导致自建点数据与国控点数据造成差异的因素进行分析。

3. 利用国控点数据，建立数学模型对自建点数据进

0 5 E题

“薄利多销”分析

“薄利多销”是通过降低单位商品的利润来增加销售数量，从而使商家获得更多盈利的一种扩大销售的策略。对于需求富有弹性的商品来说，当该商品的价格下降时，如果需求量（从而销售量）增加的幅度大于价格下降的幅度，将导致总收益增加。在实际经营管理中，“薄利多销”原则被广泛应用。(https://baike.baidu.com/item/薄利多销)

附件1和附件2是某商场自2016年11月30日起至2019年1月2日的销售流水记录，附件3是折扣信息表，附件4是商品信息表，附件5是数据说明表。请根据这批数据，建立数学模型解决下列问题：