《高等代数与解析几何》书评|163

《高等代数与解析几何》书评

朱善军

【作者简介】同济大学研一学生，目前攻读偏微分方程方向。

众所周知，“数学分析”和“高等代数”是数学系的基础课程，一般都要教授两个学期以上。传统上认为，现代数学体系大体上分为分析、代数与几何，因此“高等代数”这门课程更是有着举足轻重的作用。尽管市面上有着各式各样的教科书，但是质量高的、具有启发意义的高代教材却是凤毛麟角。编书者总是可以从不同的视角去剖析“高等代数”课程里的内容和思想方法，并且将其中凸显出来的部分当作是其教材的写作特色。诚然，现如今的大多数高代教材往往注重讲授知识本身，似乎有想将所有知识全都写入教材的倾向，但是却很少谈及一些基本概念包括定理的来源以及引入的必要性。笔者近期阅读的《高等代数与解析几何上、下》，是由上海师范大学陈跃老师和裴玉峰老师所编著的新教材。

（陈跃、裴玉峰编著，科学出版社2019 年出版）

该本教材正是立足于希望能够解释清楚相关概念和理论来源的高代教材，并且试图将高等代数与解析几何有机地结合起来。

笔者在阅读此书的过程中，有诸多感想，另外也发现本书有不少特色之处。除了与编者在前言里所谈到的特色之处，在此我也想谈谈自身对本书写作手法和内容编排上的理解。

1、写作细节处理简要剖析

（1）与传统的高代教材内容编排方式不同，新教材将矩阵的相似与矩阵的Jordan标准型放在一起进行讲解。比如在文献[1]中，作者是将矩阵的相似放在上册讲解，而把矩阵的Jordan标准型放在下册讲授。新教材利用这样的安排方式，是为了将矩阵的相似标准型讲解得更加透彻。传统上我们会知道对角化矩阵总是可以相似于对角阵，但是对于非对角化矩阵情况如何呢？那么，对于一般的矩阵总是可以相似于一个“最简”矩阵，即矩阵的Jordan标准型。

事实上，在新教材下册第9章第9.6节“从线性变换角度看若尔当标准型”也回顾了前面上册讲到的Jordan标准型，并且通过引入根子空间的概念来阐述Jordan标准型的几何解释。在这里可以体现出新教材对代数与几何进行有机结合，是本书的一大特色和亮点。在第五章中由于需要讲解Jordan标准型的一些理论证明过程，比较繁琐，因此作者巧妙地将一系列繁杂证明统统移至最后一节5.7节之中，这样的处理方式类似于华师大版《数学分析》中关于傅里叶级数一章的处理，有效避免了学生因过于复杂的推导过程而产生畏难情绪。

（2）本书在处理行列式等内容时，有意将2、3阶行列式与n阶行列式分开写作。将2、3阶行列式放在第一章最开头位置，是为了给平面和空间解析几何提供工具，比如二维向量共线、三维向量共面、外积、混合积等都需要行列式作为计算工具，否则将很难展开叙述。对于n阶行列式的一般定义（见文献[1]、[3]），比较繁琐，学生往往很难记忆。因此作者本人处理n阶行列式的基本定义时，是从“按行、列展开法则”出发来给出定义的。

尽管定义方式有所区别，但是作者尝试着从新的行列式定义出发去证明传统的等价定义。值得注意的是，为什么作者会想到用“行列式按行和按列展开法则”作为其定义方式？事实上，这正是由第一章介绍的2、3阶行列式的计算公式推广而来，因此对学生来说这样的定义方式显得不那么突兀。另外需要指出的是，作者在用新的行列式定义对行列式一系列性质展开证明时，最常使用的证明方法是数学归纳法。实际上，作者在第二章就已经介绍了第二数学归纳法，这正是为后面大量使用归纳法埋下了伏笔。

（3）本书在处理齐次线性方程组、克拉默法则、多项式根与系数的关系、正交矩阵、二次型等数学概念时，均采用了从特殊到一般的写作技法。以线性方程组为例，本书在第一章第一小节上就以解三元一次方程组为例，巧妙地引入了三元一次线性方程组的克拉默法则，随后再将其推广到n 阶线性方程组上去，即是第二章2.6 节“行列式的应用”的内容。这样的处理方式表面上平淡无奇，实则效果非凡，有助于学生深刻理解基本概念。

2、对一些基本概念的引入给与了必要的解释

新教材与大多数教材（如文献[1]、[2]、[3]）与众不同的一点是，其将一些基本概念的引入做了合乎逻辑的解释。现如今的高等代数教材里，最缺乏的是对一些概念包括定理的来龙去脉给与必要的解释。往往学生在学习的过程中，只记住一堆概念和定理内容，却不知道这些内容到底有什么用，为什么要去学习这些。长此以往，将会大大降低学生学习数学的积极性，不利于其长远发展。那么，新教材正是这样一本为你解决困惑的精品读物，帮助你真正明白一些概念的理论来源。

（1）本书巧用“为什么”开头展开文章小节

有的教材在给与基本概念的合理解释时，总是以较少的篇幅展开叙述，另外在编排位置上也总是穿插于定义与定理之中，使得读者阅读起来感觉条理不够清晰。值得注意的是，本书巧妙地以“为什么”开头作为单独章节名，将其中的概念理论来源单独讲解，有效地帮助学生从整体上进行把握。在新教材全文中，有多处是这样的处理方式，在此仅仅举以下两个例子。

例 1：为什么要把特征矩阵化为对角矩阵？

例 2：为什么要引入线性空间？

以例 2 为重点说明，来简要剖析一下作者对概念引入的写作方式。一般而言，线性空间（也称向量空间）需要满足8 条公理，因此大多数教材在介绍这一章时都是直接给出其基本定义，而后不顾为什么要引入“线性空间”这一概念。对于绝大多数学生来说，线性空间的引入是一个意想不到的结果，加之线性空间又较为抽象，不易把握，因此难免对学生造成学习障碍。多数学生还沉浸在矩阵的形式化运算上无法自拔，一旦进入到抽象世界里往往不知所措，因此在这个时候必要的缓冲是十分必要的。新教材举出微积分里的不定积分、泰勒展开式、傅里叶级数等例子来展开叙述，为大家呈现“线性组合”所带来的极大益处。

对于函数而言，我们把一个函数写成其他函数线性表示的形式，将会把复杂的计算都归结为简单的加法与乘法运算。比如，我们可以计算及e2的估计值。显而可见，“线性组合”或“线性表出”就有了极大的实际意义，而在处理代数问题中引入“线性空间”也就具有必要性了。

（2）借助数学史来解释重要概念来源

在高等代数教学内容里，有大量基础的而又重要的概念为人们所熟知，诸如逆矩阵、行列式、矩阵的秩、特征值等等。然而，大多数学生在学习这些基本概念时，往往忽视了其中的内在意义和历史来源。传统教材在写作这些内容时，往往只关注知识点与知识点之间的内在逻辑，而不愿去涉及其背后的理论来源。因此，从长远来看，整个教育体系下所培养出来的数学系学生往往解题能力很强，但是对其所学内容的来龙去脉却是知之甚少。在笔者看来，问题背后的源头在于：现如今大多数高等代数教材的编写者或者代数能力很强，或者几何水平很高，因此常以居高临下的视角来写作基础教材，甚至不屑于利用历史素材作为写作文本。然而令人感到遗憾的是，大多数的学生基础并没有编书者所想象得那么好，他们往往是经受过高考的重压下而失去了大学学习的动机，换句话说他们需要借助一种较为平缓的授课模式来学习大学数学。

值得说明的是，陈跃老师研究的方向是代数几何史，因此对代数学和几何学的历史有较为深刻的研究。同时，陈老师和裴老师也长期担任解析几何与高等代数基础课的教学工作，因此积累了大量的教学经验，新教材正是两位老师多年教学工作的结晶。可以说，新教材引入数学史并不是偶然的，偶然之中有必然，这正是作者将自己的研究方向和教育理念贯彻到现实生活的一种可贵的实践。

例 3：矩阵的乘法。在讲授矩阵的乘法法则中，新教材首先谈到了大数学家高斯在研究数论中的二元二次型时，便有了矩阵乘法的萌芽。随后又谈到了19世纪中叶英国数学家凯莱对 2阶矩阵正式定义矩阵乘法，由此也拉开了矩阵乘法的序幕。

例 4：逆矩阵。19世纪中叶英国数学家凯莱在研究线性方程组的求解问题时，提出了逆矩阵的概念。实际上，大多数人都知道对于矩阵方程

而言，可以看成是一元一次方程ax=b的推广。在a≠0 情况下，对于后者而言，其方程解为

凯莱发现对于矩阵方程 AX =β，其解也具有上面的类似表达式。

例 5：主轴定理。在历史上， 19 世纪的数学家柯西在研究化二次曲面方程为标准方程的问题中，首次引入了特征值、特征向量、二次型等基本概念，并且将化 3 元二次型为标准型的特征向量方法进一步推广到 n 元二次型的化简上，得到了主轴定理。

3、本书注重课程交叉并结合多门课程知识点展开叙述

本书尽管是一门讲解 “高等代数”知识体系的新教材，但是难能可贵的是，与多数高等代数教材相比又增加了不少数学系的其他课程的知识点。其中，涉及到的科目大体上有“数学分析”、“常微分方程”、“初等数论”、“高等几何”等多门数学课程。这样处理的好处有以下几点：其一，不单单地在讲授高等代数一门课程的内容，并对学生而言，能够在学习高等代数一门课程中也学习了其他后续课程的部分知识，为后续学习做好了铺垫；其二，通过其他学科知识的介绍，也能帮助学生更好地体会高等代数在数学学习中的实际应用。值得注意的是，作者在进行课程知识交叉叙述时，对交叉知识内容的编排上进行了慎重考虑，因此读者在阅读的过程中往往感受到恰到好处。

（1）“初等数论”的引进为多项式理论教学打好基础

在大多数教材中（如文献[2]），关于多项式理论的展开采取单刀直入的方式，即直接介绍多项式的计算以及整除理论。事实上，高等代数中的多项式整除理论与初等数论中关于整数的整除理论有极大的相似之处。因此，在实际的教学过程中，若采取先介绍整数的整除理论则会起到事半功倍的效果，那么本书就是这一努力背后的产物。新教材第四章的第一节便是“数论初步”，通过介绍初等数论中素数、辗转相除法、最大公因子、算术基本定理等基本概念和相关定理，从而与多项式理论对应起来，具体可见下面的示意图。

整数（初等数论）

多项式（高等代数）

辗转相除法

最大公因子

最大公因式

算术基本定理

因式分解定理

素数

不可约多项式

……

实际上，初等数论中关于整数的相关结论可以部分“迁移”到多项式理论中来，因此从某种程度上说，“初等数论”的引进为多项式理论教学打下良好基础。

（2）“常微分方程”的引入为相似矩阵提供应用依据

在学习相似矩阵的内容时，读者很容易会产生这样一些问题：学习相似矩阵有什么用？为什么要将一个矩阵进行相似对角化？在一些教科书上（见文献[1]），都会指明矩阵相似对角化的其中之一用处便是求矩阵的高次幂（即求A的n次方）。新教材也指明了这一点，但是这还不足以说明相似矩阵的实际用处所在。在新教材中，作者通过单独设立5.4 节“相似矩阵的应用”，来为读者呈现相似矩阵的多处应用。其中，作者在文中阐述了相似矩阵与常微分方程组的关联，通过介绍微分方程的求解方法来展现矩阵的对角化对于解方程的实际作用。正如文中所言：

“求解线性常微分方程组的基本思路也和解线性方程组一样：先设法消元，形成只含一个未知函数导数的一阶微分方程，然后再用分离变量法求解，而这个消元过程正是通过相似矩阵来完成的。”

这里需要说明的是，“常微分方程”这门课程一般是大二下学期开设的，也就是在“高等代数”课程结束之后才开设。尽管很多学生已经有了高等代数的基础，也未必能对上面那段话有较为深刻的理解，另外也不见得能领悟到相似矩阵在解常微分方程组上的妙用。值得称赞的是，作者在这里举了不少的例子以说服读者相似矩阵是极其有用的，并且如此处理也为学生后续学习“常微分方程”课程奠定了基础。

4、代数与几何相得益彰，二者结合再显神威

如果要说新教材在课程改革创新上最大的突出点，那一定是本书做到了代数和几何的有机结合。在国内大多数高等院校，“高等代数”与“解析几何”两门课程放在一起穿插讲授，往往需要把代数的思想贯彻到解析几何中去，同时也要学会用几何的视角去审视代数问题，这对学生、授课老师以及教材来说要求都是不低的。在上文笔者几乎都是谈及新教材在“高等代数”方面的写作特色，实际上在笔者看来，单独写作“解析几何”教材其处理方式几乎是一致的。但是唯独在读新教材的过程中，笔者可以感受到作者试图在架构高等代数与解析几何二者之间的桥梁，希望给代数对象给与几何解释。

数学系学生都应当熟知的是，解析几何课程所包含的主要内容大体有：平面与直线，空间向量以及空间曲面等。因此，绝大多数教材都包含的共识是：建立高等代数与解析几何关联的方式是将高等代数的知识点与上述主要内容搭建起“桥梁”。常见的“桥梁”是：利用行列式来阐述向量共线和共面；借助行列式来表示外积进而求体积；行列式也用于平面方程的一系列计算；利用正交矩阵来实现对二次曲面方程的化简。事实上，新教材中也涉及了这些基本的联结，但是独到之处在于作者却将一些代数对象赋予了更加深刻的几何解释。

这里想举一个典型的例子，即引入根子空间的概念来阐述若尔当标准型的几何解释。其实，从线性空间这个角度出发本身带有几何视角，对于矩阵的Jordan 标准型而言我们是从纯代数的相似角度下进行考虑。通过对矩阵作初等行列变换，我们可以将它化为标准形式，继而再得出一个矩阵的Jordan标准型。将矩阵与线性变换对照起来，本身就是代数与几何之间的对应。

以上是我对新教材的一些粗浅理解。最后，想用陈跃老师时常说的一句话作为结尾：“读一本书要将自己想象成作者本人，如果是你来写你能写得出来吗？为什么要这样写？”

【参考文献】

[1]樊恽，刘宏伟. 线性代数与解析几何教程（上，下）.北京：科学出版社，2009.

[2]姚慕生，吴泉水，谢启鸿.高等代数学（第三版）.上海：复旦大学出版社，2016.

[3]同济大学应用数学系.高等代数与解析几何（第二版）.北京：高等教育出版社,2016.

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