我们要求抛物线y=x^2下的面积，用现代的数学语言微积分，口算都可以得出来，这都是传统的课本上的基础概念，本篇我们抛开微积分知识和古典的穷竭法，用一种全新的数学知识来解决曲线下的面积 ，也叫做可视化微积分。

首先抛物线的切线斜率是2x,那么切线与x轴的交点怎么求呢？首先斜率tan =2x，x对应的纵坐标是x^2，所以切线与x轴的交点就是x/2,是不是很简单，这一点很关键，因为抛物线上的任何一点的切线与x轴的交点都是x/2

切线将抛物线划分成两个部分：S+T,也就是求S+T的的面积

首先我们将抛物线的所有切线延长，这些切线与y轴相交，如下图所示，此时抛物线外接矩形中的直角三角形T和切线与y轴相交时形成的直角三角形相似，不但相似而且全等（边长比为1:1），所以得到一个重要结论：

抛物线上每个点的切线，以x轴为界，x轴上半部分的切线和下半部分的切线长度相等，所以x轴上半部分切线区域的面积与整个切线区域的面积之比是1:4

所以：4S=S+T T=3S 所以S=T/3

而T是直角三角形，他的 面积是X^3/4，那么S的面积就是T/3=X^3/12

抛物线的面积是4S=x^3/3，这和微积分得出的结论是一致的

上述的内容也巧妙的证明了阿基米德的一个重要定理：抛物线与x y 轴围成的面积是其外接矩形的1/3