• 帕斯卡三角形的前6行

帕斯卡三角形的美妙之处在于它既简单又富有数学意义。这是数学上的一个新奇之处，它突出了我们所设计的这个逻辑系统是多么的与众不同。

让我们开始吧！

你可能不知道的10个隐藏在帕斯卡的三角形里的秘密。

首先，如何建立帕斯卡三角形在纸的顶部中间写上数字“1”。在下一行写两个1，形成一个三角形。在随后的每一行中，以1开头和结尾，并通过将其上的两个数字相加来计算每个内部项。

秘密#1:隐藏的序列

注意：我已经左对齐三角形来帮助我们看到这些隐藏的序列。

  • 左对齐的帕斯卡三角形

前两行不是很有趣，它们只是1和自然数。

下一列是三角数。你可以把三角数量想象成制作各种大小的三角形所需要的点的数量。如下图所示：

类似地，第四列是四面体数。正如它们的名字所暗示的那样，它们代表了用三角形基底做四面体所需要的点的数量。

这些列以这种方式延续，称为“单形”，它将这个三角形/四面体的思想外推到任意维度。下一列是5个单形数，然后是6个单形数，依此类推。对高维感兴趣的朋友可以阅读我的高维系列：

秘密#2:2的幂

如果我们对每一行求和，我们将从2^= 1开始获得以2为底的幂。

  • 对行求和就得到以2为底的幂

秘密#3:11的幂

帕斯卡三角形还显示了底数为11的乘方。你所要做的就是把每一行的数字简单地组合一起。这对于前5行来说很简单，但第六行的时候出现了两位数，怎么处理？很简单！你要做的就是把十位移到左边的数上，如下图所示：

秘密#4:完全平方

  • 4的平方是6+10

我们可以通过将一个数的“右边的数字与右边数字下面的数字”相加，得到这个数的平方数。

例如,

  • 2^2→1 + 3 = 4
  • 3^→3 + 6
  • 4^2→6 + 10 = 16等等……

秘密#5:斐波那契数列

为了找出隐藏的斐波那契数列，我们左对齐帕斯卡三角形，然后对下图所示的对角线求和。

  • 斐波那契数列的前7个数字:1、1、2、3、5、8、13，在帕斯卡三角形中找到

秘密#6:谢尔宾斯基

使用帕斯卡三角形的原始方向，把所有奇数着色，你会得到一个看起来像著名的分形

谢尔宾斯基三角形。

秘密# 7:组合

也许帕斯卡三角形中发现的最有趣的关系是我们如何使用它来找到组合数。

回想一下组合数学公式从n中选k：

  • 组合公式


  • 排列公式

我们发现在帕斯卡三角形的每一行中，n是行号（以0为开头），k是这一行从左到右的编号（以0位开头），如下图：

  • 帕斯卡三角形的前6行用组合符号表示

如果你想知道帕斯卡三角形地5行第3列的数字，那么我们计算的是4选2的组合，为6！

秘密#8:展开二项式

假设有一个二项式(x + y)，在它的幂为2或3的时候，如果想要展开这个二项式。通常情况下，你需要一个繁琐的乘法过程，但是有了帕斯卡三角形，你就可以避免这个麻烦，直接跳到答案！

  • 二项式乘法的标准方法

例如，让我们展开(x + y)^3。因为我们求的是(x+y)的3次方，所以用帕斯卡第4行中的值作为展开的系数。然后填写下面列出的x和y项。

  • 注意：每一项的指数都是(x+y)的几次方

秘密#9:二项式定理

(x+y)的乘方很酷，但我们不会经常遇到这种问题。如果我们能把上一节的思想概括成一种更实用的形式，岂不是很方便?

这就是二项式定理

  • 二项式定理

不要让符号吓着你。这与我们在上一节中所做的类似。理解任何公式的最好方法是举个例子。让我们检验一下(2x - 3)^3：

让公式中的x是第一项，y是第二项。然后x=2x, y= -3, n=3 k是从0到n=3的整数，在这种情况下k={0, 1, 2, 3}。首先，我将填充公式使用所有以上值，除了k：

它看起来还是有点奇怪，但我们离答案越来越近了。

接下来填写k的值。回想一下，k有4个值，所以我们需要填写4个不同的数值并将它们加在一起。

计算其余的指数项：

我们已经知道组合数来自帕斯卡三角形，所以我们可以简单地查找第4行并分别代入值1、3、3、1：

完成乘法和化简：

有了二项式定理，你就可以把任何二项式的幂提升到任意次幂，而不需要把这些项相乘——这是一个非常方便的工具！

秘秘#10:二项分布

二项分布描述了一种基于实验得出两种可能结果的概率分布。最经典的例子就是抛硬币。

假设我们对掷硬币正面感兴趣，我们称正面向上的概率为p为“成功”，那么硬币反面向上就是“失败”的情况，它的概率为1-p。

如果我们设计一个具有3次试验的实验，并且想知道抛正面的概率，则可以使用二项式分布的概率质量函数（pmf），其中n是试验次数，k是成功的次数，找到概率的分布。

  • 二项分布的概率质量函数(pmf)

看起来很眼熟！它和我们之前在二项式定理中用到的公式几乎是一样的。

假设成功概率为0.5 (p=0.5)，让我们来计算投掷0、1、2或3次正面的概率。

填入n=3, k= 0，1，2,，的方程，完成计算：

  • 使用帕斯卡三角形中的组合数字：1,3,3,1

投掷0次或3次正面的概率都是12.5%，而投掷1次或2次正面的概率都是37.5%。

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