如下是4个级数，你很难看出它是否收敛，用普通的数学知识很难解决，但黎曼和积分可以很容易计算，这也是检验黎曼和比较巧妙地数学方法。

如下4个无穷级数均收敛于如下结果

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我们一个一个来检验它

首先：上述的第一个式子可以写成如下样式

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接着，根据你掌握的熟练的积分知识，可以得到如下的算式

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同理，上述2,3,4式可以根据黎曼和知识得到，最终得到这些级数收敛后的结果

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我们再另辟蹊径，从另一个角度分析该第一个级数，如下图S等于

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我们知道In2的级数和等于

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结合上述的两个式子，则第一个级数S等于

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最终得到其结果等于0

所以得到一条重要的结论：所有积分都可以通过简单的分数分解来计算。