最近在看微分方程关于常系数线性方程组的解法一节有用到哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理，这不是高等代数特征值和特征向量那节最著名的定理吗？原来还有这一层渊源，趁此机会，特将其记录下来，以便日后应用。

预备知识

（1） 设矩阵 为

的特征多项式 为

为一个关于 的首项系数为1的 次多项式，写出来如下

（2）设 为矩阵 的元素 的代数余子式（即矩阵 去掉第i行，第j列，余下的 个按原来的位置做成的 阶方阵再加上符号），现在把所有这样的代数余子式放在一起，做成的矩阵

叫做 的伴随矩阵。由行列式展开公式有

哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理

设矩阵 是数域 上的一个 矩阵， 是 的特征多项式，则 .

先来直观的看一下哈密尔顿-凯莱定理说的是怎么一回事，假设

为 的特征多项式，如果记 , 那么

将 代入上式有

是一个关于 的 次多项式，似乎就有 ，现在来严格证明之

设 是 的伴随矩阵，由预备知识(1)知道 是一个关于 的 次多项式，且有关系式

其中 为 阶的单位矩阵，不妨设 为

则

是关于 的 次多项式，为了方便起见，记

故

是关于 的 次多项式，对比两者系数，有

(5)等式组的左边上面一个式子左乘矩阵 与下面一个式子是可以拼凑消掉一项，同时也会提高另一项矩阵 的次数一次，故我们反过来从最下面的式子开始，等式两边依次乘以 得到

现在让（6）等式两边累加起来，便有

定理得证。

应用

哈密尔顿-凯莱定理告诉我们某矩阵的特征多项式是以该矩阵为零点的，现在我们要利用哈密尔顿-凯莱定理来解决一些问题，比如求矩阵多项式，求逆矩阵，伴随矩阵。

例1已知矩阵

求矩阵多项式

分析如果精力充分，完全可以把矩阵 带入待求的矩阵多项式进行计算，相信我，绝大部分的同学会在算第一个 不到第6次方的时候就会放弃，所以，我们还是想想其他办法，假设待求矩阵多项式包含矩阵 的特征多项式，那么结果就简单了，即使矩阵 的特征多项式不整除待求矩阵多项式，利用带余除法降低次数也不失为一好的办法。所以先求出矩阵 的特征多项式，然后利用带余除法降低次数

解答矩阵 的特征多项式为

由哈密尔顿-凯莱定理知

再利用带余除法（见附图），可以分解待求矩阵多项式

所以

次数从原来的8次降低到2次，是不是很巴适，这是代进去求得矩阵多项式为

例2已知矩阵 是 阶可逆矩阵， 的特征多项式为

其中 ，求 和 。

分析与解答根据哈密尔顿-凯莱定理知道 ,即

移项变形得

由于矩阵 是 阶可逆矩阵，故 ,所以

又由预备知识有 可知

附图

图1 带余除法

参考文献

《常微分方程及其Maple,MATLAB求解》《高等代数(第三版)》

- - -The end- - -

感谢胡老师提供应用部分

感谢小帆帆审阅

17521754388