“胡不归问题”的由来

从前

有一个小伙子在外地当学徒

当他获悉在家乡的父亲年老病危的消息后

便立即启程赶路

由于思念心切

他选择了全是沙砾地带的直线路径A→B

当他气喘吁吁地跑到父亲眼前时

老人刚刚咽了气……

小伙子不觉失声痛哭

邻舍劝慰小伙子时告诉他

老人在弥留之际

还不断喃喃地叨念“胡不归？胡不归？……”

这个古老的传说

引起了人们的思索

小伙子要提前到家是否有可能呢？

倘有可能

他应该选择一条怎样的路线呢？

这就是风靡千年的 “胡不归问题”

“胡不归问题”示意图

早期的科学家

曾为这则古老传说中的小伙子

设想了一条路线

A是出发地，B是目的地

AC是一条驿道

而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地

为了急切回家

小伙子选择了直线路程A→B

但是

他忽略了在驿道上行走

要比在砂土地带行走快的这一因素

如果他能选择一条合适的路线

尽管这条路线长一些

但是速度却可以加快

是完全可以提前抵达家门的

当然

他们同时也表示

小伙子慌急之中乱了方寸

那种急切的心情是完全可以理解的

早期数学家的设想

其实

这个问题

用现代科学语言来描述

问题抽象

已知在驿道和沙砾上行走的速度分别为V1和V2

（V1>V2)，在AC上找出一定点D，

使得A→D→B行走时间最短，

于是问题在于如何寻找点D.

其实，在高中

问题已经远远比这个要难了

但也因为这个问题

现在已经形成了固定的

也确实有意思的题型

例1.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)，

B(4,2)。若点P为 x 轴上一动点，

求 |PA| +|PB| 的最小值。

分析：这是一个定元素在直线同侧问题。

做点A关于关于x轴的对称点A'，

则连接A'B交x轴于点P1，

由对称性可知，

P点在x轴上任一位置时，都有|PA|=|PA'|，

则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|，

而在三角形PA‘B中，总有|PA'|+|PB|>|A'B|，

故当点P与点P1重合时，

|A'B|即为|PA'|+|PB|的最小值。

或者也可以这样理解：

由对称性知，

从A点经过x轴再到点B所走的路程，

相当于从A'点经过x轴再到点B，

因为A'和B点分别在x轴两侧，

走直线必为最短路线。

变式1.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)，

B(4,2)。若点P为直线l：x+y+1=0上

一动点， 求 |PA| +|PB| 的最小值。

评析：此题在例1的基础上，

仅对条件中动点P的位置做了调整，

题型未变，思路也不变（同侧变异侧）

但因增加了一般对称点的求法，

也加大了此题求解的难度。

变式2.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)，

B(4,2)。在x轴和y轴上分别求一点P

和Q，使得|BP|+|PQ|+|QA|取得最小值，

并求出最小值。

评析：此题中两定元素也在动点所在直线的同一侧。

此题在例1基础上，将一个动点变为两个动点，

但题型仍未改变，所以方法上仍然大同小异。

由对称性知：

|AN|+|NM|+|MB|=|A'N|+|NM|+|MB'|，

由两点之间线段最短知，

最小值为|A'B|

结合物理学中光反射的特点，

此能也可将其情境更改为：

若一束光线从B点射出，

先后经x轴和y轴反射后，

恰好经过点A，

求光线从B点射到A点所经过的距离。

看来，

光线所走的路径应该都是最短路径了。

变式3.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)和

点B(4,-2)。若点P为x轴上一动点，

求|PA|-|PB|的最大值。

分析：此题中两定元素分别在动点所在直线异侧，

|PA|+|PB|的最小值易得，

但差值|PA|-|PB|则需要重新改造。

可考虑利用对称性，

将异侧两点改变为同侧。

思路：做点B关于x轴的对称点B‘，则总有|PB|=|PB'|

作射线AB'与x轴的交点P1。

当则P与点P1不重合时，

在三角形PAB‘中，

总有|PA|-|PB|=|PA|-|PB’|<|AB'|

当点P与P1重合时，

|PA|-|PB|=|PA|-|PB’|=|AB'|

故|PA|-|PB|最小值即为|AB'|

分析：此题在例1的基础上，

将动点所在的直线变为曲线，

但两个定点与动点所在的曲线位置关系不变（同一侧）。

所以，从本质上说，题型是相同的，

只是直线具有对称性的特殊性质，

而一般曲线是不具备的。

因此，本题想从位置关系的改变上（同侧变异侧）着手，

有难度。

故可参考变式3，考虑改变运算，

将距离之和改变为距离之差。

根据动点P为椭圆上的点，

可考虑用椭圆的性质。

思路：由椭圆定义，可知|PF1|+|PF2|=6，

故|PA|+|PF1| = |PA| - |PF2|+6

因此只要求出 |PA| - |PF2|的最小值即可。

而定点在线的同侧时（定点在椭圆内部），

差的最值可通过三角形性质直接得出。

由图可知：

依据三角形两边之差小于第三边，

点P与点M和点N分别重合时，

|PA| - |PF2|分别取得最大值(|AM|)

和最小值(-|AM|)。

分析：此题仅在例2的基础上，

将其中一个线段的系数改为非1常数。

若其中一个系数不为1时，

按照“胡不归问题”的处理，

可以先考虑这个系数的几何意义，

或为它构造几何意义。

因涉及焦半径，可考虑第二定义，

看是否与离心率有关。

如果两个系数都不为1时，

你能处理吗？

其实，关于这一类最值问题的处理，

主要有两种思路。

一是改变位置，

即同侧不能处理，则改为异侧；

二是改变运算，

加法不能处理时，则改为减法。

具体问题中，需要考虑的，

只是依据怎样的工具进行转化的问题。

在直线、椭圆、双曲线及抛物线中

均有类似题型

【来源】素人素言。

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