数列极限的定义、应用注意事项、典型思路与实例分析|不等式|二项式|数列|整数|绝对值

1、数列极限定义的等价描述形式

定义1：数列收敛于对于任一给定的，存在正整数，当时，恒有成立.

定义2：数列收敛于对于任一给定的，存在正整数，，成立 .

定义3：数列收敛于 , , ，成立 .

定义4：数列收敛于对于任一给定的， , ，成立，其中是一个与和都无关的正的常数.

2、关于数列定义的有关注意事项

【注1】：只要四个定义右边的任意一种描述成立，就可以直接得到数列收敛的结论成立；同样，如果数列收敛于，则可以写出右边四种等价描述形式，针对不同的问题，选用不同的描述形式帮助求解或验证问题.

【注2】：由于定义中的是用来度量数列与极限值的逼近程度的，所以可小不可大，对于它的取法，在使用定义证明极限时，可以假定其小于某个正数，比如小于1内取值；对于可大不可小，取法不唯一. 如果满足条件，则（为任意正整数）都可以取为定义中的值. 因此，的取值与有关，但并不是的函数.

3、利用数列极限定义证明极限的步骤与方法

用数列极限定义证明数列收敛于：

关键：对于任取的，找到一个符合定义中的；

方法：适当放大不等式；

基本步骤：

第一步：任取，可以根据后面不等式放大的需要假设它小于某个定值.

第二步：借助适当放大方法放大、简化为 . 其中放大的方法主要从原绝对值里面的式子出发，当然也可以借助于一些基本不等式来进行放大，目标都是尽可能通过放大，简化绝对值里面的关系式，使得第三步求解不等式时变得非常简单.

第三步：解关于变量的不等式，得 . 如果不能得到这样的结果，则需要重新改写原绝对值不等式.

第四步：取描述结论：即任取，取，则当时，有恒成立，所以数列收敛于 .

【注3】：在放大不等式的过程中，可能也对的取值有一定的限制，比如必须大于时放大不等式才成立. 这个时候，最后的应该取为

4、例题

例1：用数列极限的定义证明：

【参考证明】：第一步：任取 .

第二步：放大、简化绝对值不等式

第三步：解关于变量的不等式，得

第四步：取描述结论：

【任取，取，则当时，

恒成立，所以

】

【注4】：其实证明过程只需要【】里面的过程就可以了，因为根据定义，只要对于任意给定的正数，能够找到一个，让不等式在恒成立即可. 所以前面三步其实是探索、寻找的过程，不过实际过程最好包含不等式放大的过程.

例2：用数列极限的定义证明：

【分析】：借助二项式展开，有

右边的和的每一项都为正的，所以当时，只取第六项，则有

\frac{{n(n - 1) \cdots (n - 5)}}{{6!}}}\\ { \Rightarrow \left| {\frac{{{n^5}}}{{{2^n}}} - 0} \right| < \frac{{{n^5} \cdot 6!}}{{n(n - 1) \cdots (n - 5)}}}\\ \begin{array}{l} < \frac{{{n^4} \cdot 6!}}{{{{(n - 5)}^5}}} < \frac{{{n^4} \cdot 6!}}{{{{\left( {\frac{n}{2}} \right)}^5}}}\\ = \frac{{{2^5} \cdot 6!}}{n} < \frac{{{{10}^5}}}{n}\left( {6! < {5^5}} \right) \end{array} \end{array}" data-formula-type="block-equation">

令，解得 . 为了同时保证，甚至为了保证也大于，我们可取，其实这样的范围也可以通过设定的取值范围来保证，比如设的取值范围为，则完全可以保证满足以上不等式对的要求.

【参考证明】：任取，取，则当时，

恒成立，所以

例3 ：用数列极限的定义证明：

【分析1】：不等式法：

【分析2】：借助例2类似放缩法方法，问题转换：

\frac{{n(n - 1)}}{{2!}}y_n^2\\ \Rightarrow 1 > \frac{{n - 1}}{2}y_n^2 \end{array}" data-formula-type="block-equation">

由于，所以当时，有

【注5】：问题转换方法是经常考虑问题的一种方法，尤其是一个数列由另一数列描述的，经常转换问题描述，实现问题求解或验证. 比如

这样由已知，则借助数列极限的四则运算法则可以直接得到结论成立.

【注6】：在没有明确要求使用语言定义描述的情况下，要证明收敛于，则只要验证得到

则基于夹逼准则就验证了收敛于 . 其实也可以认为是定义的一种描述形式.