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吴嘉善，字子登，南丰人。他是进士出身，曾任翰林院庶吉士，散馆授编修。在京师期间，结交了当时的著名算学家徐有壬（上一篇有过详细介绍），一同研究学术。太平天国运动爆发后，他避乱跑到长沙，结识了另一位当时的著名算学家丁取忠。第二年，他客居广州，任广州同文馆教习教授数学，并自学了英语。又通过邹伯奇结识了钱塘出身的学者夏鸾翔。三人志同道合，相互切磋砥砺。

后经驻美公使陈兰彬推荐，赴美任留美学生监督。但他在任监督期间屡次上书总理衙门，说留美学生行为放荡，淫佚无管束，习洋教等，学生继续留美非但无益而且有害云云。后政府以撤回留学生之事询之，吴极力赞同。在吴嘉善等人一再危言鼓动下，朝廷下旨，将全体留学生召回国，学业中途而废。这件事被中国留美第一人容闳先生写进《西学东渐记》里面，以至于吴嘉善一直被诟病。吴在担任监督期间还曾负责日斯巴尼亚（西班牙）、秘鲁两国事务参赞。后来，由朝中大臣举荐，他奉命出使法兰西，常驻巴黎。

在学术上，他认为，“算学至今日，可谓盛矣。古义既彰，新法日出，前此所未有也。余与丁君果臣皆癖此，既忘其癖，更欲以癖导人。尝苦近世津逮初学之书无善本，梅文穆公所删之算法统宗，今亦不传。因商榷述此，取其浅近易晓，以为升高行远之助云。” 他著有《四元浅释》等著作，编成数学专著《算学二十一种》。又都被收入晚清算学的《白芙堂丛书》中。

吴嘉善于六十七岁时去世。