Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于 "*/∞" 型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓)、0/0型极限(此时要求分子分母都以0为极限)。该定理可以认为是函数极限洛必达法则的离散版本.

形式1

设有两个数列 和 满足如下条件：

(1) 数列 严格单调递增且 ；

(2)，

其中 为有限数或 ，则有

形式2

设有两个数列 和 满足如下条件：

(1) 数列和 严格单调递减且趋于0，且 ；

(2)，

其中 为有限数或 ，则有

【注1】：对于这个定理使用较多的是形式1. 对于有名称的定理或者结论一般都可以直接使用，在使用时记得加上它们的名称就可以了。

例1：证明以下结论成立：

【参考证明】：问题转换：两端取对数，则

由于

记上面得到的数列的分子为

记 ，则 严格单调递增且

从而有

所以，由Stolz定理的结论，有

即有

【注2】：使用Stolz定理的结论证明或者求数列的极限，关键在与构造两个数列.

例2：计算极限

【参考解答】：这个极限可以直接由分子的求和公式

代入之后可以直接计算得到极限为4/3.

如果使用Stolz定理，可令

则有

即原所求极限为4/3.

例3：设数列 由下式确定：

0,{a_{n + 1}} = {a_n} + \frac{1}{{{a_n}}}(n = 1,2, \cdots ) " data-formula-type="block-equation">

证明以下结论成立：

【参考证明】：问题转换：一般带根号的问题不是很好计算，能够转换的尽可能去掉根号进行讨论。容易直接看出 是严格单调递增的正数列；所以，问题的证明可以转换为证明

令 , ，则 单调递增趋于正无穷大，且有

对于数列 ，如果它的极限存在，设为 ，则由递推关系式，有

显然任何有限数都不可能。由于 是严格单调递增的正数列，必定数列 趋于正无穷大. 于是可得

所以由Stolz定理，有

即所证结论成立.

例4：若 ( 为有限数)，证明：

其中 .

【参考证明】：(1) 令 , ，其中 严格单调增加，且

所以，由Stolz定理的结论，有

即所证结论成立.

(2) 令

则 满足Stolz定理的条件，所以

【注3】：该例题的结论(1)也称为均值极限定理，除非专门要求证明，否则也一般可以直接使用！

类似可以证明和使用如下结论：

命题1：

0,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = a\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{x_1}{x_2} \cdots {x_n}}} = a \end{array}" data-formula-type="block-equation">

命题2：

0,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = a\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{x_n}}} = a \end{array}" data-formula-type="block-equation">

【证明提示】 命题1：取对数即可.

命题2：改写根式内部表达式，然后取对数即可，即

【注4】：以上例题的解题思路与过程仅仅说明如何应用Stolz定理解题，并不一定是相应问题最适合的解题思路！而且一般Stolz定理的内容属于数学分析课程的内容，在高等数学、微积分等课程学习中不做要求！当然，在明确定理名称，尤其是写出定理内容的情况下，在高等数学、微积分相关学习内容的检测中，没有指明必须使用某个知识点解题的情况下，也可以应用该定理作为依据来求解问题！一般有明确名称的结论都可以这样使用.

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