1 韩信点兵问题

这个问题首先要从一个叫做“韩信点兵”的故事说起。

秦末时期，楚汉相争，汉初三杰之一的韩信有一次带1500名兵士打仗，战死四五百人。为了统计剩余士兵的个数，韩信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信据此很快说出人数：1049人。汉军本来就十分信服韩信大将军，经此之后就更加相信韩信是“天神下凡，神机妙算"，于是士气大振，鼓声喧天，在接下来的战役中汉军步步紧逼，楚军乱作一团，大败而逃。韩信由此名扬天下，被后世誉为“兵仙“，“神帅”。

那么韩信是如何快速算出士兵人数的呢？韩信点兵问题可以用现代数学语言描述如下：若士兵人数是 ，则有 除以3余2，除以5余4，除以7余6.

我们也可以用同余式来表示这个问题：

我们发现，若将 ，则可以同时被3、5、7整除，即

所以 一定是3、5、7的最小公倍数的整数倍，由于3、5、7两两互素，则

所以

即

其中 是正整数，当 时

这样，韩信就计算出了剩余士兵的人数。

实际上，这类问题就是在求解初等数论中的同余方程组。在数学史上韩信点兵问题也被称为物不知数问题，最早记载于一千多年前的《孙子算经》中：

“ 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

转化为现代数学语言，即解整数 满足的同余式

这个问题和上文所说的韩信点兵问题类似，但是，它不具备上一个问题那么好的性质，因为无论使 加上或减去一个数，都无法同时被3、5、7整除。那么，这个问题该如何解决呢？

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

“ 三人同行七十稀，五树梅花廿一支（二十一），七子团圆正半月，除百零五使得知。

这首诗的意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105得到的余数就是答案。

根据这个算法，可得：

因此物不知数问题的最小正整数解即为 ，事实上，23确实满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个问题的通解为

其中 是自然数。

3 中国剩余定理

对于这个问题，如果是一般情况，该如何处理呢？例如，有同余式：

我们把这个问题分解成三个同余式方程组

那么初始问题就有最小正整数解

因此只要能找到满足条件的 即可。以 为例，由同余式可得，

因此

所以存在 使得

因此

其中 的存在性可以证明，因为有如下定理：

“ 若 ，则必然存在 使得

对于这个定理的证明，可以考虑集合 中的最小正整数，只要证明这个最小正整数就是1即可。

考虑其中最小的正整数 ， ，只需证明 且 ，由于 互素，所以 只能为1.

这件事可以用反证法证明：若 不能整除 ，则必有

因此

因此余数 也可以表示成一个整数乘以 加上另一个整数乘以 的形式，又因为 是小于 的，这就和最开始的假设 是最小的正整数相矛盾了，因此必有

因此存在性得证。

事实上这样的 不仅存在，而且也比较好寻找，其中70就是既能被5、7同时整除又能除以3余1的最小正整数，所以 ，同理可得 ， ，因此这类问题就有了通解：

原来上面的古诗中出现的70、21、15这三个数是这么来的！

一般来讲，给定 个不同的素数 ，则同余方程组

一定是有解的，求解这个问题只需构造基础解系:

因此有

因为 都是素数，因此 的存在性是显然的。

求解上述问题的过程与方法就称为“中国剩余定理”，又称为“孙子定理”。

中国剩余定理的传播最早在1852年由英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，成为了初等数论中非常重要的一个定理。

来源：大小吴的数学课堂

编辑：荔枝