第18讲：带佩亚诺余项的泰勒公式的性质、展开及应用

例题与练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：求函数 的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

练习2：试判定 可展开为几阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并写出其表达式.

练习3：求函数 在 处的 阶带佩亚诺余项的泰勒公式.

练习4：求函数 在 处的 阶带佩亚诺余项泰勒公式，并求 .

练习5：求函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

练习6：求函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

练习7：求函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

练习8：函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

练习9：求下列极限.

(1)；

(2)；

(3).

练习10：设 当 时是与 同阶的无穷小量，试求 的值.

练习11：试求 的值，使得函数

在 时达到可能的最高阶无穷小量.

练习12： 设 在 的邻域内 阶可导，且 ，则在泰勒公式

中的 满足 .

练习13：设 在 的邻域内具有三阶连续导数，且在邻域内 ，则在泰勒公式

中的 在 处可导，且 .

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：求函数 的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

【参考解答】：先求 的三阶导数，得

代入 ，得

由麦克劳林公式得

练习2：试判定 可展开为几阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并写出其表达式.

【参考解答】：将函数展开为分段函数，有

由导数的定义式，得

故可得

又由导数的定义式，得

所以有

故在此由导数的定义，有

从而可以改极限式左右极限不相等，故极限不存在，即函数 在 处三阶导数不存在，因此只可展开为 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式. 由

则有

练习3：求函数 在 处的 阶带佩亚诺余项的泰勒公式.

【参考解答】：由函数 的带佩亚诺余项的麦克劳林公式

令 ，则

【注1】：由该题可知，基于带佩亚诺余项泰勒公式的唯一性，函数在任一点处的带佩亚诺余项的泰勒公式可以通过其带佩亚诺余项的麦克劳林公式来获得，因此只需要讨论函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式展开即可。

【注2】：麦克劳林公式等式中的变量可以用任意表达式替换，只要其取值范围原等式中的变量 的取值范围内即可. 同时注意，替换要全部替换，即等式两端的所有变量符号 都要用相同的表达式一起替换.

【注3】：一般由反向改写函数表达式不好转换，所以常采用的方式是函数的正向变换. 即改写函数表达式为 的结构，使其具有已知了麦克劳林公式的函数结构，再将麦克劳林公式中的变量 用 替换，即得所需要展开的泰勒公式. 如改写函数

练习4：求函数 在 处的 阶带佩亚诺余项泰勒公式，并求 .

【参考解答】：由 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式

可得

故 阶带佩亚诺余项泰勒公式为

从而由泰勒系数公式可知

【注】：一定注意， 为 的系数.

练习5：求函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

【参考解答】：由 的展开式

所以改写函数表达式，得

练习6：求函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

【参考解答】：根据要求，写出两函数的麦克劳林公式

用两函数右端的展开式相乘，所有乘项次数大于 次的都为 ，故可得

练习7：求函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

【参考解答】：由正弦函数和指数函数的麦克劳林公式，得

将 展开式代入下式，得

练习8：函数 的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式.

【参考解答】：【思路一】由 的展开式

代入得

对 求各次数，得

代入上面的展开式，得

于是可得

【思路二】由待定系数法. . 设

由 的展开式

两个展开式相乘，得

比较两端系数得

解方程组，容易计算得

代入所设公式，得

练习9：求下列极限.

(1)；

(2)；

(3).

【参考解答】：(1) 【思路一】将函数展开为二阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，有

将上面两函数展开式直接代入极限式，得

【思路二】直接考虑洛必达法则、根式有理化与乘法法则，得

(2)直接将 展开到 阶麦克劳林公式，有

代入极限式，得

(3)令 ，则

练习10：设 当 时是与 同阶的无穷小量，试求 的值.

【参考解答】：将函数展开为 阶麦克劳林公式，有

于是由

得

将展开式代入函数，得

于是得

解得 .

练习11：试求 的值，使得函数

在 时达到可能的最高阶无穷小量.

【参考解答】：将函数展开为 阶麦克劳林公式，有

于是由

得

将展开式代入函数，得

于是得

解得 .

练习12： 设 在 的邻域内 阶可导，且 ，则在泰勒公式

中的 满足 .

【参考解答】：由于函数在 的邻域内 阶可导，故有 阶带皮亚诺余项的泰勒公式，即

将该式与题中等式相减，得

整理得

改写表达式，得

故得

练习13：设 在 的邻域内具有三阶连续导数，且在邻域内 ，则在泰勒公式

中的 在 处可导，且 .

【参考解答】：由于函数具有三阶连续导数，故有二阶带拉格朗日余项的泰勒公式

其中 位于 之间. 并且由 的拉格朗日中值定理（ 阶泰勒公式），对题设中等式中的 ，有

其中 位于 之间. 将其代入题设等式，并与二阶泰勒公式相减，整理得

取 的极限，并由三阶导函数的连续性，得

更详细的问题探讨与典型题分析可以参见如下两个专题：

关于泰勒公式、泰勒中值定理的应用实例思路探索与分析可以参见全国大学生数学竞赛初赛非数学解析视频课堂，主要视频有：

  • 第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）

  • 第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析（3个视频片段）

  • 第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）

  • 第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）

  • 第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）

  • 第八届第1题：函数极限计算的一般思路与方法（3个视频片段）

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