一、定积分的定义

把握两个任意一个总

(1) 对区间的分割是任意的；

(2) 在子区间上点的取值位置是任意的；

(3) 对两个任意，积分和总是趋于同一个极限值.

【注1】积分值与积分变量无关，注意取极限时不仅仅是分割的份数趋于无穷大，更重要的是所有子区间的区间长度都趋于零，因此为子区间长度的最大值趋于零取极限.

【注2】积分值与积分变量无关，只与被积函数和积分上下限无关，因此积分值中一定不包含有积分变量，如同极限结果中一定不含有极限变量.

二、定积分存在的充要条件与必要条件

1、函数 在 上连续，则 在 上可积.

2、函数 在 上有界，且在 上只有有限个间断点，则 在 上可积.

3、函数 在 上有界且单调，则 在 上可积.

4、函数 在 上可积，则 在 上有界.

【注】初等函数在包含于其定义区间上的任意闭区间上定积分都是存在的.

三、用定积分定义求部分和式极限

1、依据

基于定积分的定义，对于特定分割（均分）和区间上特殊取点（统一取为左端点或者统一取为右端点，或者中点及子区间内其它统一位置的点），从而可以用定积分的定义来求无穷项和的极限.

2、应用原则、步骤与方法

如果考虑使用定积分的定义来求无穷项和的数列的极限，则首先将极限式写成∑求和形式(n项求和)；然后提出一个 ，再将剩下部分中包含的 与 转换为 的函数表达式（这个过程可能需要经过放缩，结合夹逼定理），即最终的极限式可以写成 的结构，则可以把最终的极限描述为被积函数为 ，积分区间为 的定积分形式. 具体过程参见课件中的例题！

【注1】如果希望构建积分区间为 ，则需要提出 ，并将剩余部分转换为 ，即极限式转换为

的结构，则最终的极限描述为被积函数为 ，积分区间为 的定积分形式.

【注2】结合区间分割图形考虑积分定义中的区间均匀分割确定积分区间分割点坐标和被积函数，从而可以得到不同的描述形式. 另外，除了使用积分定义求极限，也可以将积分描述为极限求和结构求积分，具体实例参见课件和推荐阅读列表.

四、定积分的实际意义

1、实际意义

被积函数非负，则为曲边梯形的面积、变速直线运动路程、变力沿直线作功、直线型物体的质量；被积函数的意义则为曲边的高、速度大小、变力大小和线密度. 根据应用背景的不同，定积分具有不同的实际意义.

2、基于几何意义计算积分

基于定积分计算曲边梯形面积的几何意义，对于一些特殊的被积函数的积分，可以将定积分计算转换为应用其他面积计算公式计算面积问题. 同时当积分区间为关于原点对称的区间，被积函数具有奇偶性时，可得“偶倍奇零”的计算性质来简化积分计算.

更详细的定积分概念及相关性质的探讨可以参见专题推文：


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参考课件

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