北京师范大学陈六君：数学物理方法|傅里叶|拉普拉斯|数学|级数|陈六君

课程介绍

数学物理方法主要介绍了如何应用数学方法求解物理问题。本课程既是一门数学课程，又是一门物理课程，主要内容包括两部分：一是如何将物理问题表述成偏微分方程的定解问题，这实际上是对物理问题进行数学建模，二是如何运用各种偏微分方程求解方法对各类定解问题进行求解。

本课程是为管理科学专业（非物理类专业）开设的学科基础课，因此，课程重点不在于物理问题本身，而在于展示如何将具体问题归结为数学问题并进行求解的清晰图像，为其他系统的研究提供基本思路和方法支持。结合学生的实际情况，本课程补充了高等数学中常微分方程求解和傅里叶级数的内容。

课程目标

本课程的教学目标是培养学生的物理思维方式和数学建模能力，引导学生进行有意识地知识迁移，提高学生运用数学工具解决实际问题的能力。

掌握如何将物理问题表述成偏微分方程的定解问题，包括如何定义系统的状态变量，并根据各种物理定律写出状态变量随时间演化所遵循的方程和定解条件等。
掌握分离变量法求解齐次方程定解问题的基本思路，熟悉分离变量法中本征值问题的正弦函数或余弦函数本征解。进一步掌握以分离变量法为核心进行扩展的其他求解方法，如非齐次方程定解问题的傅里叶级数解法和冲量定理法等。
掌握分离变量法求解极坐标和球坐标系下拉普拉斯方程的基本思路，熟悉极坐标下本征值问题的三角函数本征解，球坐标系下本征值问题的勒让德多项式本征解。
理解分离变量法中本征值问题及其本征解的本质，了解施图姆-刘维尔本征值问题的一般形式及其数学性质，在此基础上理解以本征函数族为基的广义傅里叶级数的概念。

课程大纲

引子课程介绍
第一章常微分方程
1.1 常系数齐次线性微分方程
1.2 常系数非齐次线性微分方程
1.3 变系数线性微分方程
教学内容及要求：掌握常系数齐次微分方程的基本解法；掌握常系数非齐次线性微分方程的特解法，了解常数变易法；掌握欧拉方程的解法；掌握一般变系数线性微分方程在常点邻域内的级数解法。
第二章傅里叶级数
2.1 傅里叶级数
2.2 傅里叶变换
2.3 delta函数
教学内容及要求：掌握周期函数的傅里叶级数展开；理解函数组正交的基本概念；了解非周期函数的傅里叶变换的基本概念和算法；了解δ函数的定义和性质。
第三章定解问题的导出
3.1 数学物理方程的导出
3.2 定解条件
教学内容及要求：掌握将物理问题表述成数学方程的一般步骤：能针对具体的波动问题、输运问题和稳定场问题写出相应的数学物理方程；能直接写出第一类边界条件和第二类边界条件。
第四章直角坐标下的分离变量法
4.1 分离变量法
4.2 分离变量法的应用
4.3 非齐次方程的求解
4.4 非齐次边界条件的处理
教学内容及要求：掌握分离变量法求解齐次方程齐次边界条件的定解问题的解题步骤：能写出特定本征值问题的解；能求解一维或二维区域上的波动方程或输运方程在第一、二类齐次边界条件下的定解问题；能求解直角坐标的二维拉普拉斯方程的定解问题。掌握非齐次方程的傅里叶级数解法；了解非齐次边界条件齐次化的一般处理方法；了解某些定解问题的特解法。
第五章极坐标和球坐标下的分离变量法
5.1 极坐标系下的分离变量法
5.2 拉普拉斯方程的分离变量
5.3 拉普拉斯方程的轴对称定解问题
5.4 施图姆-刘维尔本征值问题
教学内容及要求：掌握极坐标和球坐标系下拉普拉斯方程分离变量的方法；能求解极坐标的二维拉普拉斯方程的定解问题；掌握应用常点邻域内的级数解法求解勒让德方程，在此基础上理解级数截断为多项式的方法；掌握施图姆-刘维尔本征值问题的结论并能使用；掌握广义傅里叶级数的概念。
结束课程总结