任意两个自然数互质的概率都能求出来？居然还等于6/π²|互质|合数|定理|素数|自然数

问同学们一个问题：10以内，任取两个自然数互质的概率是多少呢？

对于这样的问题，没有其他办法，好在10这个范围不大，可以用枚举方式来进行。

黄色区域是互质，白色区域有除1以外的

其中1与任何数都是互质的，任意素数之间也都是互质的。

于是我们得出10以内的自然数互质的概率就是63/100=0.63。

那我们再扩展一丢丢呢，1000以内呢？其实也可以通过归纳的方式得出来，可以避开这种一一枚举的笨办法，但是也仍然很费事。接下来，我们来挑战一个真正的问题，在全体自然数中，任意两个数互质的概率是多少呢？

研究数的性质基本上都要归结于素数

这个问题有点难度，但是结合上面10以内互质枚举的列表，我们先来收集一些特征。

我们发现，似乎两个数是否互质，跟素数有很大关系。比如2，会跟哪些数互质呢？很明显，1,3,5,7,9。这些全部都是奇数，占到所有数字的1/2,与2不互质的概率也为1/2。3呢？会跟哪些数互质呢？那就是，1,2,4,5,7,8,10由于这里我们只列举了10以内的情况，所以这里互质的概率是7/10，假如我们列举到12以内的情况，这个概率就等于8/12，等于2/3了，那么与3不互质的概率就是1/3。依次分析5,7，你会发现一个有趣的事实。

素数

任取一个数与某个素数p不互质的概率都是1/p，因为只有p的整数倍才会与p有公约数。那么任意自然数与p互质的概率就是1-1/p。我们现在来给全体素数从小到大做个排列。

P1,P2,P3...是全体素数从小到大的排列，也就是说P1,P2,P3...就是2,3,5...

任取两个自然数，这对自然数与2互质的概率就是1-(1-1/2)*(1-1/2),与3互质的概率就是1-（1-1/3）*(1-1/3)。依次类推，从全体自然数取出两个自然数都互质，那就要与任何一个素数都互质了。于是这个概率就是

任意两自然数互质的概率

这个大π是个连乘符号，表示将后面所有的式子都连乘起来的积。这个符号看起来有点恐怖，但并不是一点办法都没有。观察一下（1）式，我们来对这个式子进行处理。

等式 2

到了(2)式之后，我们接下来就将全体的P1,P2,P3的具体数值代入进去。于是有

等式3

当工作进行到(3)式了，就必须转换思维了，否则工作就将无法进行下去。我们来回想小学时候学过的基础数学概念，把一个合数分解成若干个素数相乘的形式。这个过程叫分解素因数，但是你有没有想过，为什么把合数只分解成若干个素数相乘的形式，而不是分解成别的什么形式。

分解质因数很重要

这里主要有2点原因，第一，素数的乘积可以表示成任意合数，第二，这种分解成素数乘积的形式是唯一的。第一条是显而易见的，因为合数分解到都是素数乘积的时候就只能停止了，因为素数只有本身和1两个约数了，再分解就没有意义。第二条在数学上有个高大上的名字——算术基本定理，与代数基本定理齐名。