引言

斐波那契数列（Fibo nacci seq uence），又称黄金分割数列，由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250）在1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

它指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，在数学上，斐波纳契数列以如下递归方法定义：

由于其第1项取为0，故也经常定义为

斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用，并在计算机C语言程序题中应用广泛。同时，斐波那契数经常出现在自然界中，比如一些植物的叶、枝、茎、花瓣的数量，排列、生长规律等都表现为一些斐波那契数或其变化规律。

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现。

在FOX 热播美剧《Fringe》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。

另外，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

【注】先自行练习，然后再看之后的思路、思想与方法、过程分析.如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：求斐波那契(Fibonacci)数列的通项公式．

练习2：设数列 满足

(1) 证明:

(2) 判断级数 和 是否收敛?

练习3：证明：级数 收敛，并求和，其中

练习4：设 为Fibonacci数列，即

记 ，求

练习5：若可微函数 在 上满足 ，且 ，任取

，

证明级数 绝对收敛.

练习6：设 是区间 上的可微函数， ，其中 . 任取实数 ，定义

证明级数 绝对收敛.

练习7：已知 ，且对 ，有

作数列

证明 收敛﹐且极限 满足 .

内容待续 ...

参考文献：

[1] 百度百科词条：斐波那契数列

[2] 周民强.数学分析习题演练（第1册）北京:科学出版社，2006.

[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.2版.北京:高等教育出版社，2006.

有关于差分方程内容的介绍和差分方程的求解方法与典型题分析参见微信公众号：考研竞赛数学（ID：xwmath）的高数数分专题50讲，或者文后推荐阅读：