利用反常积分的定义求积分值与判定反常积分敛散性的一般思路与方法：

一、基本依据

利用反常积分(广义积分)的定义计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限.

1、无穷限的反常积分

如果积分区间为无穷区间，则积分称为无穷限的反常积分，也称为第一类反常积分.

对于第三个积分，当且仅当两个极限都存在积分才收敛. 在形式上，如果

记

则有积分的牛顿-莱布尼兹公式的描述形式：

2、无界函数的反常积分

如果函数 在点 的任意有定义的邻域内都无界，则称点 为函数 的瑕点.无界函数的反常积分也称为瑕积分，或第二类反常积分. 类似有如下定义和牛顿-莱布尼兹公式的描述形式.

如果 为瑕点，则

如果 为瑕点，则

如果 都为瑕点，则

如果 为瑕点，则

对于第后面两个积分，当且仅当两个极限都存在积分才收敛. 其中

表示函数在该点的左 右 极限.

二、基本思路与步骤

(1)通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；

(2)对积分结果求极限；

(3)根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者直接判定反常积分的敛散性.

三、相关注意事项

1、在形式上，将无穷大(正负无穷大)、瑕点直接视为定积分上下限，定积分的计算思路与方法(如换元法、分部积分法等)和性质(如线性运算性质、积分对积分区间的可加性、保号性、保序性等)直接适用于两类反常积分的计算.不过求相应的函数值时为求极限值.

2、反常积分只有在收敛的前提下才能应用“偶倍奇零”的计算性质来简化计算.

3、若在同一积分式中出现两类反常积分，可通过分割区间将其分割为两类积分分别讨论，只有两类积分都收敛时原积分才收敛.

4、有时通过换元，两类反常积分、常义积分之间可以实现互相转化.

5、若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点，则本质上是常义积分，而不是反常积分. 如

6、主值意义下的反常积分定义为

其中c(a. 注意其与一般反常积分的区别，其收敛仅仅为一般反常积分的特殊情况. 一般反常积分两个极限变量为独立变化过程，主值意义下的反常积分为同步变化. 所以主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反常积分收敛，但一般意义下反常积分收敛，则主值意义下反常积分存在.

四、三个重要的结论

(1)积分当 时发散， 时收敛，且

0} \right) = \left\{ \matrix{ + \infty \;,p \le 1 \hfill \cr {\displaystyle {1 \over {(p - 1)\,{a^{p - 1}}}}}\;,p > 1 \hfill \cr} \right." data-formula-type="block-equation">

(2)积分当 时发散， 时收敛，且

(3)级数与反常积分的关系

设 为常数，则

推广：设 为连续的严格单调递减的正函数，则

【注】由该结论可以看到 级数 的敛散性与 积分的敛散性一致的结论. 关于无穷级数与无穷限反常积分的关系探索与实例解析，可以参见在线课程“第一届全国初赛非数学专业真题解析”中第八个的视频解析片段：无穷级数与无穷限反常积分的关系探索与实例. 点击本文文末左下角“阅读原文”直达.

基于数学软件的不定积分、定积分的计算与近似数值计算方法，以及计算结果正确性、有效性的验证，可以参见如下的两个推文：



参考课件

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