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第32讲：反常积分敛散性的判定
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：判定下列反常积分的敛散性.
(2) ；
(3) ；
(5) ；
(6) .
练习2：判别积分 ( 为常数)的敛散性.
练习3：讨论 的敛散性.
练习4：讨论 取何值时，反常积分 收敛.
练习5：求曲线 与 轴所围图形的面积.
练习6：判定下列反常积分的敛散性.
(2) .
练习7：讨论 的敛散性.
练习8：判定以下反常积分是绝对收敛还是条件收敛.
(1) ( 为常数且 )；
(2) ；
(3) .
练习9：证明积分 条件收敛.
练习10：讨论积分 的敛散性，如果收敛试问是条件收敛还是绝对收敛？
练习11：证明积分 收敛.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：判定下列反常积分的敛散性.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
【参考解答】：(1)由于
由于 ，故由比较审敛法知原积分收敛.
(2)由于
由于 ，故由比较审敛法知原积分发散.
(3)取 ，由于
故由极限审敛法知原积分收敛.
(4)取 ，由于
故由极限审敛法知原积分收敛.
(5)瑕点为 , ，于是分别考察积分
对于 ，由于
且 ，故由极限判别法知积分 收敛.
对于 ，由于
且 ，故由极限判别法知积分 收敛.
综上可知原积分收敛.
(6) 【思路一】取 ，由于
故由反常积分的极限判别法知原积分收敛.
【思路二】由分部积分法，得
故由反常积分的定义知原积分收敛.
练习2：判别积分 ( 为常数)的敛散性.
【参考解答】：当 时，函数为正，考虑比较判别法. 由于当 时
{1 \over {x{{(\ln x)}^k}}} " data-formula-type="block-equation">
(1)当 时，
由此可知，原积分发散.
(2)当 时，
由此可知，原积分发散.
(3)若 时，注意到 时，
由积分的凑微分法，有
收敛，所以由比较判别法知原积分收敛. 综上可得，当 时积分发散，当 时，积分收敛.
练习3：讨论 的敛散性.
【参考解答】：由 ，所以
具有相同的敛散性，于是
当 时， 收敛；
当 时， 发散.
练习4：讨论 取何值时，反常积分 收敛.
【参考解答】：可能的瑕点为 ，故拆分积分为
对积分 ，取 ，因
故当 时积分收敛，当 时发散.
对积分 ，取 ，因
故当 时积分收敛，当 时发散.
综上可得， 且 时原积分收敛，否则发散.
练习5：求曲线 与 轴所围图形的面积.
【参考解答】：所求面积为
因为 ，而
收敛，所以原积分收敛.
于是由积分对区间的可加性，有
令 ，则
【注】基于积分收敛，积分过程可以通过求被积函数的原函数分割积分区间来计算得到结果，即
其中积分应用两次分部积分法，有
移项得
练习6：判定下列反常积分的敛散性.
(1) ；
(2) .
【参考解答】：(1)【思路一】为瑕点，由求极限的洛必达法则，得
且 ，故由极限判别法知积分收敛.
【思路二】为瑕点，由于
则由瑕积分的定义，得
故积分收敛.
(2)为瑕点，由于
故由反常积分的极限判别法知该椭圆积分收敛.
练习7：讨论 的敛散性.
【参考解答】：由积分对区间的可加性，拆分积分为
对第一个积分 ，有
于是由 当 ，即 ，积分收敛，所以积分 收敛；类似，由于
由 当 ，即 ，积分收敛，所以积分 收敛；综上可知，当 , 时原积分收敛.
练习8：判定以下反常积分是绝对收敛还是条件收敛.
(1) ( 为常数且 )；
(2) ；
(3) .
【参考解答】：(1)因为 ，而积分 收敛，故由比较审敛法知积分 收敛，故原积分绝对收敛.
(2)为瑕点. 因 ，故对充分小的 ，有 ，于是
故由反常积分的比较审敛法可知原积分绝对收敛.
(3)因为 ，而积分 收敛，故由反常积分的比较审敛法值原积分绝对收敛.
练习9：证明积分 条件收敛.
【参考解答】：(1)首先证明收敛. 因为 ，
且当 时， 单调下降趋于 ，由狄利克雷判别法知原积分收敛.
(2)下面讨论其绝对值函数的积分发散. 由于
类似(1)可知积分 收敛，而
其中 ，故积分 发散，所以积分 发散.
综上可知原积分条件收敛.
练习10：讨论积分 的敛散性，如果收敛试问是条件收敛还是绝对收敛？
【参考解答】：由于 .
(1)当 时，反常积分 收敛，所以当 时， 绝对收敛.
(2)当 时，对任意的 ，可得
即 有界. 又 在 上单调且当 时趋于 ，所以由狄利克雷判别法可知积分 收敛.
下面证明积分 发散.
【思路一】：由于 ，所以
由于 时 发散，而由第一问的结论可知 ，故
发散，所以由比较判别法可知 发散.
【思路二】：任取一个充分大的 . 令 ，则 且 .
由于 ，所以
由于 时，级数 发散，所以
即积分 发散.
综上可得，
当 时， 绝对收敛；
当 时， 条件收敛.
练习11：证明积分 收敛.
【参考解答】：由上面的例子知道， 收敛，又函数 单调（递减）且当 时 有界，所以由阿贝尔判别法可知原级数收敛.
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