我记得有一次他（拉马努金）在帕特尼生病住院时，我去看他。我坐的是车牌号为1729的出租车，我说感觉这个数字很不好，我希望它不是什么不祥之兆。“不，”拉马努金回答说，“这是一个非常有趣的数字，它是可以用两种不同的方式表示为两个立方和的最小数。——G.H·哈代（迪）

  • 左图：拉马努金为数不多的照片之一。右：拉马努金的手稿。

1729有两种不同的方式可以表示为两个立方的和，它们是1^3+ 12^3和9^3+ 10^3。这个数字后来被称为哈代-拉马努金数字。所谓的“出租车数”的定义是：

出租车数
可以用n种不同方式表示为两个立方体之和的最小数。

到目前为止，已知的出租车数有6个。它们是：

1657年，伯纳德·弗雷尼卡·德·贝西（Bernard Frénicle de Bessy）首次提到了可以用立方和来表示的数字，他在与约翰·沃利斯（John Wallis）和皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的通信中引用了1729年的例子来描述这一性质。1938年，哈代证明了这些数对所有正整数n都存在。下一个出租车数Ta（3）是由约翰·里奇（John Leech）在1957年通过计算机得到的。后面的出租车数（Ta_5，6，7）由罗森斯蒂尔（rosenstiel）等人（1989）、J.A.Dardis（1994）和Hollerbach（2008）发现的。对于出租车数Ta（7）到T（12），只知道它们的上界。

拉马努金的研究

拉马努金把他的研究记录在笔记本上，后来数学家和历史学家都怀着敬畏之心仔细研究这些笔记。除了在上面的轶事中提到了数字1729之外，没有关于拉马努金对这个数字了解的进一步信息。

丢番图方程

在三一学院图书馆中发现的他的一份手稿中，数学家数学家肯恩·小野（Ken Ono）发现了拉马努金对1729这个数字的研究，从这张完全没有注释的单页纸上可以清楚地看出，拉马努詹是在研究丢番图方程的近整数解：

  • 方程1

近整数是指非常接近于整数的数字，例如sin（11） = -0.99999206……对于在拉马努金手稿中的发现，小野后来说：

我们就坐在图书管理员的桌子旁边，一页一页地翻着拉马努金的手稿，我们偶然发现了这一页，上面有1729年的两种表现形式（即立方和）。我们立刻笑了起来。

  • 1729这个数字由两个立方的和表示，有两种情况

肯恩·小野发现的不是数字1729本身，而是它的两个立方和，这是拉马努金在研究上述方程1的近整数解时遇到的。

费马最后（大）定理

肯恩·小野的发现很有趣，因为上面的方程1正是法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在1637年提出的著名猜想——费马大定理中著名的方程（n = 3）：

费马大定理：
没有三个正整数a，b，c满足方程a^n+ b^n= c^n，对于任何n>2的整数。

尽管1770年伦纳德·欧拉（Leonard Euler）证明了拉马努金所研究的特例（n=3）没有解，但对于n > 2的普遍情况，在拉马努詹的时代仍有很多问题没有解决，直到1994年安德鲁·怀尔斯证明了这个猜想才得以解决。出租车数与费马最后定理之间的关系可以用以下方式描述：

对于a^n+ b^n= c^n，设n = 3。那么费马最后定理说明，不存在一个出租车数Ta（x）使c =³√Ta（x）是整数。

欧拉丢番图方程

对于拉马努金所研究的丢番图方程（描述费马最后定理的近整数解），欧拉也曾研究过，有时也被称为欧拉丢番图方程：

  • 方程2：欧拉丢番图方程

在同一页上，在拉马努金的方程解的例子上，他也给出了三个函数，以及x（关于原点）的幂次展开式和ξ（关于无穷）的幂次展开式。

从手稿中，三个函数及其x的幂展开式是：

  • 方程3.1

  • 方程3.2

  • 方程3.3

n的前几个值，a，b，c的系数为：

这三个函数及其ξ级数展开式为：

  • 方程4.1

  • 方程4.2

  • 方程4.3

n的前几个α， β， γ系数为：

值的

此外，拉马努金根据欧拉丢番图方程提供了两个通用表达式，用于生成n = 3时费马最后定理的近整数解：

  • 方程5和6：关于丢番图方程a^3+ b^3= c^3的近整数解的拉马努扬方程

哈代-拉马努金数1729是方程6的解，可表示为ξ的幂展开式，n = 0时，由系数α， β， γ给出，分别是α_0 = 9，β_0 = −12和γ_0 = −10。

因此，1918年哈代到帕特尼的医院去见拉马努金时，拉马努金不仅意识到了这个数字的性质，还知道上面方程5和6给出的可以产生无限多个具有相同性质的数字的公式。