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哥特建筑是在中世纪晚期法国发展起来的一种建筑风格，见于许多大教堂和城堡[1，3]。这种雄伟的风格经常被用在教会建筑上，强调它们的宏伟和庄严。哥特建筑的两个主要特征是高度和光线。哥特建筑通常细高，通过塔楼、尖拱和柱子进一步强调垂直性。在大教堂里，墙壁上通常排列着巨大的彩色玻璃窗，为建筑物注入光线和色彩。

18世纪中叶，一场被称为哥特式复兴的建筑运动在英国开始，并迅速蔓延到整个欧洲。在传统哥特式建筑和西班牙风格的影响下发展起来了新曼纽尔建筑，以及葡萄牙最后的哥特式风格[10]。布萨科皇宫酒店由意大利建筑师路易吉·马尼尼(Luigi Manini)设计，建于1888年至1907年之间，是新曼纽尔建筑(Neo-Manueline)的著名范例(图2)。

在许多这些受哥特式影响的建筑风格中，圆形排列是一个突出的设计主题。玫瑰花窗通常是由刻在一个大圆圈内的多层小圆圈组成。这些圆圈可能与相邻的圆圈相切或部分相交。有些设计涉及到圆圈从中心向四周排列，形成辐条；这些窗口也被称为 "轮窗"。圆形窗口可以环绕一些较小的圆（通常排列成环状），每个圆都包含另一组内嵌的圆，以此类推。图1显示了斯特拉斯堡大教堂的一个轮窗和米兰大教堂的两个玫瑰窗，这是法国哥特式建筑的两个著名例子。其中的圆形排列方式用白色描画出来。

图1：（a）斯特拉斯堡大教堂的玫瑰花窗。（b, c）米兰大教堂有两种不同类型的玫瑰花窗。

图2：（a）半圆形拱门和（b）布萨科宫殿酒店的花窗。

在布萨科皇宫酒店的半圆形拱门和窗户上也可以看到类似这样的圆形排列。在图2中，这些圆圈被描画出来，显示出所使用的图案的丰富多样性。请注意，有时（在拱门的情况下），大圆圈可以穿过小圆圈，而不是包围它们。这样做使得底层的圆形排列不那么明显，并将观众引向其他衍生形状，如四个切线圆所形生的四角星。图2a中的图案还包含杂散的弧线和圆，其主要目的似乎是填补其他切线圆之间的空隙。由于这些图形的结构不太明显，我们不在本文中讨论它们。

圆环的构造

我们感兴趣的是构造类似于哥特建筑中发现的圆形排列。找到给定一组圆的平面圆填充的问题已经被广泛研究[8]，但是这些非常抽象的数学概念很可能没有被建筑师使用，也不能保证艺术效果。我们将重点关注一个非常简单的主题——圆环，而不是探索所有圆形填料的空间，这在前文所述的许多建筑实例中都有。

图3a展示了4个圆圈内嵌在一个更大的圆圈中。我们简要地概述一下如何将n个圆圈内嵌在一个更大的圆圈中。从以原点为中心的半径为1的外圆开始，我们要找出r，即n个小圆的半径，使它们在内环内形成一个环，并与外圆相切。我们绘制如图3a所示的三角形，其顶点是较大圆的中心、较小圆的中心以及较小圆与其相邻圆相切的点。对于大小为n的环，θ=π/n，所以我们有Sinθ=r/(1-r)，它简化为r=1/(1+Sinθ)。现在可以通过取半径r以(0，1-r)为中心的圆，并绘制其副本，当i=0，1，...，n-1时将其旋转2iπ/n来构造环。

图3：（a）如何构造一个由4个圆组成的圆环，表示法R(4)。（b）我们可以递归地把圆环添加到小圆中。（c）在中心增加圆环，表示法R(7;1)。

图4：（a）R（4；4），（b）R（4^4），（c）R（（2，3，4，5；6），（7；1），8，（9，1）；10）

环形结构可以通过递归地在较小的圆上添加圆环来扩展。我们引入一个类似集合的符号来描述更复杂的环结构。从基本情况开始，让R(n)表示一个内含n个小圆的圆（注意，R(1)指的是一个空的圆）。为了增加复杂性，举例来说，假设一个R(6)的内圈被交替出现的R(3)和R(5)所取代；那么整个结构就用R(3,5,3,5,3,5)表示，我们通过将其简写为R((3,5)3)。如果每个R(5)被交替的R(4)和R(7)所取代，那么我们就写成R((3,(4,7,4,7,4))3)（见图3b）。这个符号可以描述任意递归深度的环结构。按照惯例，我们从最上面的圆圈开始列举，然后逆时针绕行。

随着n的增加，R(n)中的圆圈会留下更多的空隙，这是不可取的，因为我们想装饰整个圆圈。解决这个问题的一个方法是使用同心环结构，如图1b所示。但在这种情况下，外圈没有接触，所以它们之间的空间需要用其他装饰图案来填充。另一种填充空隙的方法是在空隙处添加较小的圆，如图1c，但这种排列没有利用我们环形结构中的切线圆。

为了使用切线圆来填补空隙，我们提出了环形结构的扩展，其中包括一个从内部与环相切的中心圆。然后，中心圆可以使用相同的环形结构进行递归的装饰。我们的表示法自然延伸到包含一个中心圆。让R(n; 1)指的是R(n)有一个内嵌的中心圆（见图3c）。在这个符号中，分号之前的部分是指环，之后的部分是指中心圆。例如，一个R(4)被刻在另一个R(4)里面（见图4a）将被写成R(4; 4)。要省略中心圆，只需省略分号和它后面的内容。例如，如果我们只想要一个包含R(4)的外环（见图4b），我们就写成R(4,4,4,4)=R(44)。图4c展示了一个更复杂的扩展环结构的例子。

计算圆环序列

我们首先需要确定哪些结构是合适的设计。让我们再看一下一些建筑实例。在图5a中，每一对切线圆都有一条通过切点连接它们的曲线。在图5b中，这个半圆形拱门中最突出的形状是8角星，是由四个R(4)形成的环形结构内的弧线连接而成的。这些例子说明了对称性和圆的排列在设计中的重要性。设计的重要性。我们想生成满足切线要求的对称环形结构，即在一个环中的任何两个切线圆之间，如果它们环绕任何环，那么内环也是切线。我们说两个环是相切的，如果它们所包含的圆的集合正好接触一点，在这种情况下，就是包围这些环的两个圆的切点（见图5c）。

图5：（a，b）在这些建筑实例中，切线圆通过其内部的曲线连接。这些曲线通常取自内嵌的圆环。（c） 我们的目标是创建满足切线要求的环形结构，即任何一对相切的圆之间，其内嵌的环也是相切的。

首先，考虑由R(mn)给出的结构。给定n的值，我们想找出最小的整数m，使所有由切线圆形成的R(m)都相互相切。图6a显示了一个例子，其中n=7，m=28。让R(n)和R(m)中的标记中心角分别为θn和θm，我们知道它们是2π/n和 2π/m。图6b是其中一个R(m)的特写。通过切点划分圆，产生的中心角是π θn、(π +θn)/2和(π +θn)/2。它们可以分别改写为2(n 2)φ、(n+2)φ和(n+2)φ，其中φ=π/2n。为了满足切线要求，这些角中的每一个都必须是θm的倍数，这意味着θm 是它们的最大公约数。所以我们有：

接下来考虑同样的结构，中心圆由R(mn; 1)给出。图6c显示了一个涉及切点所产生的角度的测量的特写。通过类似的计算，我们可以得到θm和m的值。

至于中心圆，为了满足切线的要求，它所包含的环必须能被n整除。

为了区分有中心圆和无中心圆的情况，让mR(n)和mC(n)分别表示使R(mR(n)n)和R(mC(n)n ; 1)满足切线要求的最小值。注意，使R(mn)满足切线要求的所有m值的集合是mR(n)的所有倍数的集合；对于R(mn ; 1)与mC(n)的倍数也是如此。

图6：（a）在这个例子中，环状结构由R（mn）给出，其中n=7，m=28。（b）为了确定允许这种共形结构的最小m值，考虑切点所形成的角度。它们必须是θm的整数倍。（c） R(mn; 1)的情况也是如此，它涉及一个中心圆。

到目前为止，我们已经学会了如何创建形式为R(mR(n)n)和R(mR(n)n; 1)的两级圆环结构，使最小的环（即R(n)s）在大环内切排列。对于一个有两层以上的环状结构，如果在每两个相邻的层之间，子结构满足两层的切线要求，那么它就满足了切线要求。为了说明这一事实，考虑图7a中由R((2412)3)给出的结构。它满足多级相切的要求，因为子结构R(2412)和R(123)都满足两级相切的要求。在这种情况下，我们说序列{3,12,24}对应于一个遵守切线要求的环结构。

我们的目标是找到所有符合切线要求的序列，我们可以用函数mR(n)和mC(n)来实现。再次使用图7a中的例子，我们知道对应于序列{3,12,24}的这个结构服从切线要求，因为12是mR（3）的倍数，24是mR（12）的倍数。一般来说，如果xi+1是序列中连续项（xi, xi+1）的m(xi)的倍数（m(-)在此指mR(-)或mC(-)），那么就满足了切线要求。我们想利用这一特性来寻找能产生具有良好美学特性的复杂环状结构的序列。直观地说，我们想要包含相对较小数字的长序列，因为它们对应于具有不太小的圆圈的复杂结构。从本质上讲，我们正在寻找满足切线要求但不发散到无限大的无限序列。这些整数序列可以是收敛的，也可以是在某一点之后振荡的。

下面是问题的正式陈述：让{xi}是一个整数序列，以x0≥3开始。随后的元素被定义为xi+1 = cim(xi)，其中ci是某个正整数，m(-)指mR(-)或mC(-)（我们将讨论这两种情况）。列举所有收敛和震荡序列{xi}。

当m(·)= mC(·)时，由于mC(·)是一个非递减函数，因此不存在振荡解，唯一的收敛序列为{x0, x0, x0，…}，其中x0≡2 mod 4。在m(·)= mR(·)的情况下，收敛序列收敛到与2或6对8取余相等的某个值。对于非常收敛数列，我们假设存在一个。考虑子序列{xi: xi≡6 mod 8}。它一定是无限的，因为根据mR的定义，mR(xi) < xi当且仅当xi≡6 mod 8;如果{xi: xi≡6 mod 8}是有限的，那么在某个点之后，xi要么收敛要么发散到无穷，这两者都与{xn}是振荡的假设相矛盾。

现在有可能从子序列中抽取两个相邻的项xj和xk（j

xj。为了将数值还原到xj以得到xk=xj，我们需要在xk之前访问另一个与6模8全等的数值，这与xj和xk是子序列{xi : xi≡6模8}中的相邻项这一事实相矛盾。在所有三种情况下发现的矛盾表明，振荡不会发生。

总之，对于m(·)= mR(·)和m(·)= mC(·)，唯一收敛的序列是从x0≡2 mod 4开始的常数序列。图7b为无中心圆对应恒定序列2s的结构。图7c显示了一个恒定序列6s对应的结构，其中中心的圆被画了出来。

图7：(A)这些环结构对应于序列{3，MR(3)，MR(MR(3))}={3，12，24}，(B){2，MR(2)，MR(MR(2))，...}={2，2，2，...}，和(C){6，MC(6)，MC(MC(6))，...}={6，6，6，...}。在最右边的结构中，每个环内都包括一个中心圆。

即使不存在无限振荡序列，我们仍然可以找到具有小数字的有限序列，从而产生有趣的环结构。切线要求仅作为选择工作环尺寸的指导原则。在第5节中，我们将使用完全或部分满足切线约束的环结构来测试各种样式。

用阿波罗尼斯垫圆填补空白

到目前为止，我们已经采用了基本的环形结构，增加了一个中心圆来填补最大的空白，应用递归来增加设计的复杂性，并确定了哪些排列方式满足切线要求。圆之间仍然有一些空白，填补这些空白的一种方法是在三个成对切线圆之间添加阿波罗尼斯垫圆[7]。

笛卡尔定理指出，对于任何一组两两相切的圆，都有两个圆与这三个圆都相切。这些圆被称为阿波罗尼斯圆。阿波罗尼斯垫圆(参见图8a)是这样的三元组，画出它们的阿波罗尼斯圆，然后对产生的每个新的两两相切的三元组重复这个过程，从而构造出阿波罗尼斯垫圆(见图8a)。

我们可以把阿波罗尼斯垫圆的概念应用到我们的环结构上。我们从包含2n个切线三元组的n个≥2的R(n；1)开始，画出所有的阿波罗尼斯圆。使用这种方法，一些圆相交，这会生成复杂的图案(参见图8b)，但不是我们正在寻找的圆类型。为了消除不需要的交点，我们提出了一个附加约束，即对于每个两两相切的三元组，只有当它不与原始的三个圆相交时，才画出阿波罗尼斯圆。修改后的绘图方法产生如图8c所示的结果类型。

图8：（a）有规律的阿波罗尼斯垫圆是由三个成对的切线圆产生的。将这一概念应用于我们的环形结构，而不是像（b）一样画出所有的阿波罗尼斯圆并产生不需要的交点，（c）如果一个阿波罗尼斯圆不环绕它所衍生的成对切线三联体，我们就画出它。

尝试不同的样式

圆形环形结构阿波罗尼斯垫圆的结合让我们可以创造出各种各样的设计。图9a显示了用于图10a中的玫瑰花窗设计的底层圆形图案。如NeoManueline拱门所示，边界沿圆心和切点穿过环形结构。

尽管底层结构由圆形组成，但我们通过用圆形设计取代每个圆形来探索其他装饰可能性。图9b中的螺旋桨图案用于两级六角形环形结构中，以创建图10b中的图案。

哥特建筑从伊斯兰艺术的精美装饰设计中汲取元素[5]。我们研究了传统的伊斯兰艺术，发现许多设计都包含圆形结构[6]。为了创建我们的作品，我们生成了一个由R(6)s和R(12)s组成的环形结构，分别用6角和12角星星替换它们(参见图9c)，在间隙中添加小星星，并将所有元素组合在一起形成图10c所示的星形图案。

图9：用于创建图10中的图片的设计元素

图10：这些设计是从图9中的设计元素创建的，具有底层圆环结构。

凯尔特艺术还在许多设计中使用圆形元素，如结、螺旋线和回纹图案[2]。为了构建图10d所示的螺旋设计，将环形结构中的圆替换为图9d所示的简单螺旋。至于从环形结构创建凯尔特结，我们首先取了一个规则的圆形结(见图9E，上图)，并剪下一些线束，这样它就可以与另一个相同的结连接在一起。然后将六个这样的结连接成一个圆圈，以产生图10E所示的结。Astrom已经开发出其他构造圆形结的方法[9]。莱昂纳多·达·芬奇还设计了一些涉及同心圆图案的复杂结[4]。

在一些建筑实例中，圆形图案交织在一起，以创造更复杂的设计。在图10f中，四个不同大小的环形结构叠加在一起，形成一个复杂的图案。

参考文献

[1] Benno Artmann. The cloisters of Hauterive. In Kim Williams, editor, Nexus: Architecture and Mathematics, pages 15–25, June 1996.

[2] George Bain. The Methods of Constructions of Celtic Art. Dover Publications, Inc., New York, 1973.

[3] Jean Bony. French Gothic Architecture of the 12th and 13th Centuries. University of California Press, 1985.

[4] Archibald H. Christie. Traditional methods of pattern designing; an introduction to the study of the decorative art. Oxford: Clarendon press, 1910.

[5] Sir Banister Fletcher. Sir Banister Fletcher's A History of Architecture. Architectural Press, 20th edition, 1996.

[6] Craig S. Kaplan. Islamic star patterns from polygons in contact. In GI '05: Proceedings of the 2005 conference on Graphics Interface, 2005.

[7] David Mumford, Caroline Series, and David Wright. Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

[8] Kenneth Stephenson. Introduction to Circle Packing: The Theory of Discrete Analytic Functions. Cambridge University Press, April 2005.

[9] Alexander Astrom and Christoffer Astrom. Circular knotworks consisting of pattern no. 295: a mathematical approach. Journal of Mathematics and the Arts, 5(4):185–197, November 2011.

[10] Walter Crum Watson. Portuguese architecture. A. Constable and company, limited, 1908.

[11] Tiffany C. Inglis and Craig S. Kaplan, Circle patterns in Gothic architecture

青山不改，绿水长流，在下告退。

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