女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文介绍了使用密铺和Tazhib技术覆盖一些特殊星形多边形内部的方法。有几篇文章研究了使用星形多边形图案对无界平面进行密铺的方法。然而，本文的主要重点是介绍对有界区域（如星形多边形的内部）进行密铺的方法，利用星形多边形本身来创造自相似的设计。此外，本文还介绍了经典的波斯艺术形式——Tazhib的基本技术。本文还介绍了一种将这种艺术形式与密铺相融合的艺术合作。

1. 介绍

大多数中世纪波斯马赛克设计师也是几何学家。正因为如此，他们能够使用星形多边形创建复杂而精细的拼块。在星形多边形中，五角星和十角星因其数学性质而受到设计者的重视，本文将对这两种星形多边形进行讨论。

五角星可以用构成（10，3）星形多边形的线段的交点来构建。它也可以由一个72°菱形围绕72°角的顶点旋转生成。

十角星可以通过两个同心的正五边形的旋转，彼此中心角的径向距离为36°来构造。

为了创造互锁的星形多边形镶嵌，工匠和数学家需要采取漫长而谨慎的步骤来定位一个基本区域。尽管如此，星形多边形的内部区域本身可以被认为是有趣的拼块和tazhib的基础。

Tazhib（彩饰）是一种古典的波斯艺术形式，用于书籍的装饰。在中世纪的波斯，优雅和高度精细的Tazhib艺术得到了发展，其传统甚至延续到今天。在传统的波斯Tazhib中，人们可以找到数学思想和概念，如对称性、对数和阿基米德螺旋、多边形和星形多边形。

下一节将介绍一些星形多边形。在第3节中，我们研究一些在星形多边形的内部密铺的方法。第4节是关于tazhib的艺术。第5节介绍tazhib十角星的一步步构造。第6节介绍作者与一位tazhib艺术家的艺术合作。

2. 五角星、十角星和互锁多边形密铺

五角星和十角星这两个术语是指两种非凸多边形：五角星可以用(10，3)星形多边形来制作，星形可以通过连接正十边形的每三个顶点来制作。构成(10，3)星形多边形的线段的交点包括径向距离为36°的两个同心五角星的顶点(图1)。一个五角星可以分为5个菱形；每一个都由一对彭罗斯风筝和飞镖组成(没有特殊的曲线使它们成为准周期镶嵌图案)。对于准周期镶嵌，特殊的曲线防止风筝和飞镖形成菱形组合[9]。

图1：（10，3）星形多边形，两个同心五角星，以及由菱形组成的五角星

使用两个径向距离为36°的同心全等正五边形可以生成一个十角星，如图2中的前两幅图所示。图2中的最后一张图片显示了十角星和（10，3）星形多边形之间的关系。此外，它还显示了围绕十角星的10个风筝与（10，3）星形多边形之间的联系。

图2：两个同心全等正五边形，十角形和(10，3)星形

图3展示了五角星图案的镶嵌（也包括十角星图案）。图4展示了4种不同的镶嵌图案，它们都是以十角星图案为主要特征，共有5种拼块。

图3：五角星图案的连锁镶嵌

图4：以十角形为主题的4种不同的互锁多边形拼法

图5显示了在图4的镶嵌中使用的所有拼块。在本文中，这些主题被称为sâzeh（波斯语，组织结构）模块。这些模块有自己特定的波斯语名称：Tabl（十角星拼块）、Sormeh Dân（蝴蝶结拼块）、Shesh Band（凹八角形拼块）、Torange（风筝形拼块）和Pange（五边形拼块）[9]。

图5：五种拼块 Tabl、Sormeh Dân、Shesh Band、Torange和Pange

下面我们来研究一下五角星和十角星的内部图案，这些图案以和谐对称的方式覆盖了五角星和十角星的内部，在马赛克设计中使用了上述5种拼块。

3.使用密铺技术创建五角星和十角星装饰

图6显示了两个装饰十角星。左边的十角星图案是由一位匿名艺术家创作。右边的十角星图是由作者创作的。这两个十角星图案被两组不同的图案所覆盖。然而，它们有以下相似之处：

1两个镶嵌都具有10重旋转对称性。

2两个镶嵌中的形状顶点都位于构成镶嵌的小十角星图形的中心。

图6：左图是一个实际的密铺十角星，右图是一个由作者创建的密铺十角星

我们注意到，这两个形状的凸角是108º，被一个十角星的3/10部分所覆盖，而凹角是216 º，被一个小十角星的3/5部分所覆盖（这是数学属性，与任何这样的拼块中的小十角星的大小无关）。

人们可能会问，除了图6中的右图之外，是否还有其他的镶嵌可以用5种sâzeh模块覆盖一个十角星的内部。为了回答这个问题，我们注意到，构建这种拼块的一种方法是使用7(b)中所示的girih拼块[7]。图7(a)显示了我们使用图7(b)中展示的girih拼块构造的十角星密铺。现在，如果我们不考虑girih拼块的边界线，那么我们将得到另一个如图7(c)所示的镶嵌图案。这个十角星的拼块可以从伊斯法罕的Darb-Imam神庙鼓楼上的拼块中提取[2]。从这两个不同的拼法中，我们可以得出结论，使用上述约束条件的十角星的拼法不是唯一的。

图7：(A)用图6.b中的Girih拼块构造的十角星密铺，(B)三种Girih拼块，(C)与(A)中使用的拼块相同，现在被图5中的Sâzeh拼块覆盖。

现在我们把注意力从十角星转移到五角星。图8展示了五角星的密铺，使用的拼块与sâzeh模块不同。图8中的左图显示了如何使用直尺圆规结构来实现这种拼合。图8中的右图显示了计算机生成的镶嵌图案，它是现有镶嵌图案[8-9]的翻版。

图8：72º菱形上的圆规直尺结构的密铺，以及使用在这种结构中生成的一组主题的五角星密铺

与其用类似于图8的直尺圆规结构为sâzeh模块构建这样的拼块，不如用girih拼块创建一个包括72º菱形的区域，如图9（a-b）。使用这个菱形并围绕其72º顶点旋转72º会产生所需的五角星镶嵌。图9(c)显示了五角星的另一种镶嵌法，以说明这种镶嵌法不是唯一的。

图9：(a)用于生成72º菱形的girih拼块的排列，(b)五角星拼块，(c)使用不同的girih拼块构建的另一个五角星密铺

4.Tazhib的艺术

在萨法维王朝(公元1501- 1736年)建造的更精致的建筑中，密铺艺术通常与Tazhib艺术相伴并融合在一起。Tazhib是一种波斯非具象的彩饰艺术形式，传统上被用于装饰标题/副标题页，如圆形(Shamseh)，或圣书和史诗的页边空白(Hashiyeh)。然而，它的元素也出现在波斯地毯和马赛克上。在大多数情况下，一件艺术品是通过重复一种称为Vagireh的基本区域模式来创作的。这种艺术与蔬菜和植物肖像有着基本的联系，它的根源可以在前伊斯兰教的波斯找到，特别是在萨珊王朝(公元224-651年)创造的装饰艺术。据说公元3世纪波斯先知马尼（Mani）用Tazhib和细密画为他的《埃根克》（Ergenk）作了插图。

为了彻底了解这个过程，我们欣赏来自荷兰恩斯赫德的Tazhib艺术家莫伊甘·利萨尔（Mojgan Lisar）的艺术作品。Tazhib图案的组成部分包括被称为Eslimi图案的抽象交错和链式螺旋图案，以及被称为Khatâyi图案和Khatâyi花的风格化花卉图案。要创作一个Tazhib图案，首先艺术家要做一些风格化的曲线和螺旋线，以确定和说明艺术品的边界。这第一组曲线是作品的Eslimi部分。Eslimi部分是由没有花但非常程式化的叶子的树枝组成（图10）。

图10：一些Eslimi的叶子和树枝

然后，艺术家添加Khatâyi曲线和螺旋，其中包括许多不同大小的花朵和叶子(图11)。艺术家可能会添加更多的细节来完成设计。Khatâyi部分的分支通常比Eslimi分支更细。更大的Khatâyi花结构更复杂，有自己的特定名称，例如Lâleh Abâsi和Gol Panbehyi花卉。

图11：一些具有不同花瓣数量和大小的khatâyi花卉

在一些情况下，艺术家可能会包括象征性的和抽象的动物设计，如鹿、金丝雀和夜莺。可能的组件及其变种可能很多，超出了本文的重点。有兴趣的读者可以参考[1]、[5]和[6]等资源。

5. 十角星和Tazhib的艺术

莫伊甘·利萨尔使用图2所示的两个同心全等的规则五角星，构造了十角星。创造整个tazhib设计的一个基本区域是这个十角星的36°扇形。在设计完这个部分并将其转移到透明纸上之后，艺术家用36°的旋转覆盖了十角星的整个内部。在某些情况下，艺术家可能决定只使用基础区域的一半——18°的扇形——用于原始设计，并使用反射构造另一半，就像这个艺术品一样。

为了完成这个Tazhib十角星图案的着色，艺术家只用了一系列的蓝色。在传统艺术作品中，艺术家将热色（如红色、棕色等）与冷色（蓝色、紫色等）相结合。然而，为了使作品更加和谐，使欣赏者的眼睛更多地被精细的细节所吸引，对作品感到更加平静和和谐，艺术家只用蓝色的组合。这样观者的注意力就不会被色彩对比打破。图12展示了最终的艺术作品和所有使用的蓝颜色。

图12：设计和绘制tazhib十角星的过程

6.以拼块与Tazhib 两种艺术形式相结合的艺术合作为结语

图13：蓝色太阳

图13，"蓝色太阳"，是前述两件密铺和Tazhib艺术作品的拼贴画。前面的图像是上一节中所创造的十角星图shamseh（圆环形的tazhib）。背面的马赛克设计是根据图7b中的十角星图制作的两层自相似拼块。

参考文献

[1] Agha Miri, A.H., Designing Tazhib, Yassavoli Publications, 2008, Tehran, Iran.

[2] Bonner, J., Three traditions of self-similarity in fourteenth and fifteenth century Islamic geometric ornament, Proceedings of the ISMA/Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, R. Sarhangi and N. Friedman, eds, Granada, Spain, 2003, pp. 1-12.

[3] Fathauer R. and Nathan S Selikoff, eds, Joint Mathematics Meeting Art Exhibition Catalog 2013, San Diego, California, USA.

[4] Fathauer R. and Nathan S Selikoff, eds, Bridges International Conference Art Exhibition Catalog 2013, Enschede, the Netherlands.

[5] Honarvar, M.R., Symbols of Iranian Illumination and Carpet Designing, Yassavoli Publications, 2011, Tehran, Iran.

[6] Honarvar, M.R., The Illumination Models, Eslimi and Khataei Decorative Designs, Yassavoli Publications, 2008, Tehran, Iran.

[7] Lu, P.J. and P.J. Steinhardt, Decagonal and quasi-crystalline tilings in medieval Islamic architecture, Science 315, 2007, pp. 1106 – 1110.

[8] Maheronnaqsh, M., Design and Execution in Persian Ceramics, Reza Abbasi Museum Press, 1984, Tehran, Iran.

[9] Sarhangi, R., Interlocking Star Polygons in Persian Architecture: The Special Case of the Decagram in Mosaic Designs, Nexus Network Journal, Volume 14, N. 2, 2012, pp. 345-372.

[10] Reza Sarhangi, Tiling and Tazhib of Some Special Star Polygons :A Mathematics and Art Case Study

青山不改，绿水长流，在下告退。

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