让我们来证明数学分析中最重要的定理之一,唯一的要求是对导数有一个基本的了解。
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连接f(a)和f(b)的直线等于a和b之间某一点的切线。在数学中,给出精确的表述是很重要的,因为图像有时会在你没有意识到的情况下假设一些东西 (在这个例子中,曲线永远不会低于连接f(a)和f(b)的直线)。
下面是正式声明。假设一个函数在区间[a,b]上是连续和可微的。那么存在一个数,我们称之为c,使得下面的方程成立:
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证明
这里的技巧是重新构造函数。思考一下下面定义的函数:
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这个新的函数,称之为g(x)。你可能已经注意到,(f(b)-f(a)/(b-a)项是(a,f(a))和(b,f(b))之间的连接线的斜率。在x=a和x=b时,可以用一些简单的代数来验证g(a)=g(b)。
现在,在[a,b]上,由于g(x)是连续的,g(x)将在[a,b]上得到其最小值和最大值。数学家说[a,b]是实数的一个 "紧凑 "子集。
那么有两种情况。
情况1。如果最大值和最小值都出现在端点,即x=a和x=b处,那么函数的最大值和最小值在[a,b]的所有地方都是一样的,因为g(a)=g(b)。在这种情况下,g(x)在任何地方都是一样的,代数证明了f(x)一定是连接(a,f(a))和(b,f(b))的直线。
情况2。如果最小值或最大值出现在中间,那么我们从微积分中知道,导数在该点一定是零。让我们把这一点称为c,首先算出导数:
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然后我们把c处的导数设为零(注意,从df(x)/dx到f'(x)的符号转换,用'符号表示取导数)。
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直到最后,我们得出结论,在这个点c,有:
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这样,证明就完成了。
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