女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
本文试图调查实用几何学在古代萨珊波斯王朝灰泥装饰中的应用，以了解几何结构的构建和实用几何学的渐进过程。通过几何分析，我们追踪装饰物的变化，并提取潜在的几何结构；我们还使用对称群、7种饰带群和17种墙纸群，以便更深入地了解萨珊王朝灰泥装饰物中的实用几何。这些分析将唤起萨珊王朝灰泥装饰的特点，如：作为整体一部分的图案；旋转对称和线性网络中的图案重复；具有旋转或反射对称的复杂几何结构的应用；整个装饰板的规划。另外，通过分析萨珊王朝的灰泥板，我们可以发现它们的重复单元，然后根据饰带群和墙纸群进行分类。
1介绍
在古代，装饰是建筑不可分割的一部分，以至于维特鲁威乌斯在他的《建筑十书》[2009]中建议建筑师要获取广泛的历史知识，通过装饰作为建筑的表达媒介来实现潜在的想法。古典教育的四门知识学科是算术、几何、音乐和天文学。几何学的实践作为一种智力手段来构想宇宙的秩序[Lawler 1982]。对于巴比伦人和埃及人来说，它是一种实用的工具，在他们的日常生活中也是必不可少的[Sarhangi 1999]。
在古代波斯，装饰在建筑中也发挥了重要作用，人们可以在阿契美尼德、帕提亚和萨珊波斯的历史遗迹中发现装饰的重要性，后来在伊斯兰时期也是如此。
萨珊王朝避开了希腊的形式，回到了阿契美尼德的建筑设计中。因此，萨珊王朝的艺术反映了个人的倾向性和波斯人的具体创新[Sammi 1984]。
在本文中，我们想研究萨珊王朝的灰泥是否遵循特定的几何规则。通过分析萨珊王朝的灰泥装饰，我们也想看看古代波斯人所拥有的几何学和数学知识。与建筑装饰相关的实用几何学领域的现有研究大多涉及伊斯兰建筑的几何图案[Bonner 2003; Cromwell 2009; Lu and Steinhardt 2007; Özdural 2000]；探索古代波斯建筑和数学的同一主题的研究很少[Afhami and Tavoosi 2007; Baltrušaitis 1977; Roaf 1989]。本文旨在展示几何学作为设计过程中一个有影响力的组成部分的重要性。将讨论实用几何学在萨珊王朝灰泥中的应用，并展示它们的几何分析，以达成对古代波斯的数学和艺术之间的联系的深刻理解。
2 方法
古代波斯的前伊斯兰教灰泥装饰品已经被大量研究[Kröger 1982; Herzfeld 1923; Ettinghausen 1979]。然而，由于灰泥作品的风格和形式的不确定性，在缺乏精确的考古数据的情况下，不可能建立一个绝对的年代学。同样的图案以基本相同的形式继续重复了几个世纪。Roger Moorey[1978]和Jens Kröger[1982]认为Kis的灰泥可以追溯到五世纪，而Ctesipho和Hisar的灰泥可以追溯到六世纪或七世纪初。这些观点是基于考古学证据以及植物和几何图案的微小变化[Harper 1986]。同样地，本研究认为萨珊王朝灰泥图案日期的准确性等问题有待考古调查。对于大多数建筑来说，装饰物的日期往往与建筑的建造日期相同；然而，在其他情况下，建筑装饰物是在不同的时代建造的，这使得在适当的年代背景下识别灰泥装饰物非常困难。
在第四节中，萨珊王朝的灰泥将根据其几何结构进行讨论，其形状将按照从简单到复杂的设计进行排序。在选择案例研究的过程中，遵循了两个标准。首先，案例应代表典型的装饰设计；其次，它们可以定义实用几何学应用中的转折点或发展。
通过使用几何分析（由作者进行），我们将展示萨珊王朝灰泥装饰中潜在的几何秩序，并揭示萨珊王朝时代灰泥装饰设计过程中实用几何的存在。本文还试图找到萨珊王朝灰泥装饰图案的主导组织、基本模块和构成整个装饰板的几何规则。在灰泥的几何分析中，我们考虑到了以下三个方面。
——装饰图案设计：图案设计方法与几何组织研究。
——图案重复：图案重复是装饰图案创作的主要设计原则。
——纹样延伸：根据纹样延伸的矢量和交替的节奏对装饰图案进行延伸，体现了装饰性设计的改进。
为了分析这个过程，我们用7个饰带群和17个墙纸群来展示重复单元和对称性的应用。它们将给我们一个更好的解释，说明萨珊王朝灰泥图案的创造，从而更好地理解装饰物。这些对称群将在第4节、表1和表2中显示。
3 萨珊王朝的建筑和装饰
一批现存的纪念碑、石刻、铭文、文物和手稿形成了我们现在对萨珊王朝历史和文化的印象。20世纪20年代，在美索不达米亚南部的Ctesiphon开始了对萨珊王朝遗址的首次考古发掘[Mousavi 2008]。萨珊王朝起源于波斯波利斯附近的一个城镇，伊斯塔克尔(Istakhr )。圣地的首席祭司职位似乎与伊斯塔克尔地区的世俗管理有关，这两种职能似乎都是由一个家族世袭的，该家族的起源是传说中的“萨珊”，是阿契美尼德王朝的远亲。阿尔达希尔就来自这个家族。他打败了帕提亚的最后一位国王阿塔班，并通过重组波斯帝国牢固地建立了萨珊王朝的统治[Porada 1965]。在民众的支持下，阿尔达希尔一世领导了一场运动，在经历了先是塞琉古、后是帕提亚的几个世纪的统治后，恢复了波斯人的统治。在阿尔达希尔和他的继任者沙普尔一世的领导下，萨珊帝国重新扩张，包括中亚的大部分地区和印度北部地区[Feltham 2010]。萨珊王朝的国王试图将自己与阿契美尼德王朝的血统联系起来。他们崇拜阿契美尼德艺术，并从希腊和罗马的影响中获得的经验中受益[Ghirshman 1962]。与阿契美尼德王朝不同，萨珊王朝的建筑师用砖和相对简单的技术建造他们的拱形结构，但他们试图通过用丰富的装饰品来达到阿契美尼德王朝宫殿的宏伟和壮观[Godard 1965]。灰泥技术的便利性是其迅速发展的原因。一个特定板块中使用的图案可以通过模块的方式无限复制，灰泥工人开始创造“连续图案”，可以向各个方向无止境地扩散[Ghirshman 1962]。
图1. 萨珊波斯王朝的历史遗迹和灰泥装饰
萨珊王朝的灰泥浮雕包括各种主题，如狩猎、宴会、皇家人物，以及大量的植物、动物和几何图案[Harper 1986]。萨珊王朝的建筑师为发展装饰品创造了适当的背景。宫殿和礼堂的设计结合了豪华的装饰和宏伟的形式。穹顶、拱顶和厚重的墙壁提供了巨大的空白表面。装饰完全覆盖了门柱、饰带群、柱头和墙壁，这些设计被用来提高气势磅礴的整体效果。装饰可以分为三类：纯粹的建筑元素和框架；由抽象的线条组成的几何装饰——曲线、直线和角度；最后是植物装饰，将叶和花的图案镶嵌在线性方案中；所有这些有时都是用灰泥实施的[Baltrušaitis 1977]。大多数墙体护栏的灰泥残余物包括组合成连续设计的图案。无论是相同的还是几个图案，都在垂直和水平方向上以有规律的顺序重复。在护壁板中发现的首选技术是大约一英尺（30.48厘米）见方的灰泥装饰。因此，这些单元可以成倍增加，并简单地添加到另一个单元，类似于伊斯兰建筑装饰的密铺系统。事实上，这些萨珊王朝的灰泥牌匾可以被认为是釉面砖的前身[Reuther 1977]。
4 萨珊王朝灰泥装饰的几何分析
在本节中，我们将分析一些萨珊王朝的灰泥实例，并研究其隐藏的几何结构和调节线。本研究中的灰泥含有一些几何缺陷，这可能是由于它们是手工制作的，或者随着时间的推移可能出现轻微的扭曲。然而，我们相信它们是遵循几何学的子结构的。因此，本研究不考虑在灰泥的某些部分发现的几何形状的小缺陷。该研究和分析依赖于作者根据照片绘制的图画。
表1：7种饰带图案的对称性，源自[Lui等人，2004]
表1显示了描述沿一个方向的单色重复图案的7个饰带群[Liu等人，2004]。我们将使用这个对称群的理论来进行周期性图案的感知。
4.1饰带群
饰带或条形图案是在一个方向上平移对称的重复图案。重复图案可以具有旋转、反射或滑动反射对称性。已经被晶体学家标准化的饰带群形成了一个命名一个方向上重复模式的系统。数学家约翰·康威[1992]提出的另一个命名系统与每个饰带群的足迹有关。
图2显示的是保存在大都会艺术博物馆的Ctesiphon的萨珊王朝灰泥饰带群的一个部分。这个例子显示了一个单一图案的简单重复。这个图案被画在一个基本模块中，这个模块中的细分线条是基于同心圆的弧线。这个图案可以归入第一饰带群F1，因为它只包含平移对称性。
图2：a）来自Ctesiphon的萨珊王朝灰泥[Pope 1938]；b）作者的几何学分析
图3与图2略有不同。这里的整个面板是由两个不同的图案组成，以交替的节奏重复。右侧的图显示了设计的结构。它表明，这个饰带群上的所有图案都被放在几何分割系统中出现的准确位置上。为了包围图案的两个对称部分，这个饰带群是基于一个基本的方形框架，它被分为两个部分。通过将正方形的每条边分成两部分，并在里面画出同样的正方形，同时根据这些细分的线条画出两个切线圆，可以将图案放在一个准确的形式中。此图也被归入第三饰带群F3，包含平移和垂直反射对称。
图3：a）来自Ctesiphon的萨珊王朝灰泥[Pope 1938]；b）作者的几何学分析
图4：a）来自Ctesiphon的萨珊王朝灰泥[Pope 1938]；b）作者的几何学分析
通过使用弧线和曲线形式，萨珊王朝的建筑师们在图4中找到了每个图案的最佳位置。这些弧线的半径是基于基本方形的划分。大弧线是以两个基本正方形的直径来画的，以便放置树叶。两个大弧的交点决定了花的位置。这个饰带群是在重复单元的基础上制作的，被归入第三饰带群F3，包含平移和垂直反射对称。
图5显示的是一块用饰带群图案装饰的皇家狩猎场景的灰泥板。下面我们将分别分析每一种。
图5. 萨珊王朝的灰泥国王狩猎场景装饰框——Chahar-Tarchan [Ghirshman 1962]
图6是图5中饰带群的一个部分。线图显示了设计的下部结构。这个饰带群与之前的例子类似，是根据基本的正方形模块及其分割绘制的。这个饰带群遵循第三组饰带群F3，包含平移和垂直反射对称性。
图7是图5的另一个饰带。在这种情况下，动物主题以这样一种方式重复，即可以归类为第三个饰带群F3，包含平移和垂直反射对称。
图6：作者进行几何分析的饰带截面
图7：作者对饰带群的剖面进行了几何学分析
图8中的图案同样是根据基本的方形模块绘制的。通过画一个刻在正方形上的圆，并将其除以直径，就可以找到花瓣的位置。此图遵循两种不同类型的饰带群。每个图案的设计可以被认为是第七个饰带群F7，包含所有的对称性，平移、水平、垂直反射，以及旋转，而重复的饰带遵循第一个饰带群F1，只包含平移对称性。
图8：作者对饰带群的剖面进行的几何学分析
在图9中，饰带群是通过重复图案的方式创造出来的，被归入第一组饰带群F1，只包含平移对称性。然而，该图案本身是通过垂直反射而形成的，并遵循第三组饰带群F3，包含平移和垂直反射对称性。
图9：作者对饰带群的剖面进行了几何学分析
图10是图5中皇家狩猎场景底部的饰带。与其他例子类似，这些图案是在基本方形模块及其分割的基础上绘制的。这个饰带群是以一个单元的重复为基础的，这样的方式可以归为第四个饰带群F4，包含平移和旋转（通过一个半圆）对称。
图10：作者对饰带群的剖面进行的几何学分析
在图11中可以看到四种饰带群。这些饰带群构成了主要设计的框架。在下一部分中，我们将分别对这些饰带群进行详细的分析。
图11. 萨珊王朝的灰泥，Bandian
图12显示了图11中的一个饰带群，它是基于第五个饰带群F5，包含平移、滑移反射和旋转（半圈）对称。在这个饰带群中，基本的正方形也在塑造图案方面发挥了重要作用。通过将正方形划分为16个单元，图案设计的子结构就产生了。
图12：作者对饰带群的剖面进行了几何学分析
图13可视为第五个饰带群F5，包含平移、滑移反射和旋转(半圈)对称。图案的子结构表明，划分基本模块可以帮助工匠精确设计。
13：作者对饰带群的剖面进行了几何学分析
图14是图11中的另一个饰带图案，可以被认为是第四个饰带群F4，包含平移和旋转(半圈)对称。这种图案在古代世界很常见，可能是受前一时期希腊帕提亚艺术的影响而产生的。
图14. 作者对饰带群的剖面图及几何分析
图15是图11中所示的班迪安灰泥的最后一个饰带图案。该图案被画在一个基本的正方形中，被分成六个单元。然而，下一个图案并不是从最后一个正方形开始，而是从它的最后1/3部分开始。这个饰带群遵循第六个饰带群F6，包含平移和水平反射的对称性。
图15：作者对饰带群的剖面图及几何分析
4.2墙纸群
为了覆盖二维平面而在两个线性方向上扩展的周期性图案被称为墙纸图案。图案对称组中两个最小的线性独立平移向量T1和T2是图案的底层格子结构的生成器。格子将平面划分为相同的平行四边形子图像，称为格子单元或拼块。壁纸图案的对称组必须是17个不同的墙纸群之一 [Liu等人. 2004]16。
图16：17个墙纸群[Plass等人，2007年]
表2：Y表示该对称性存在于该对称组；空表示没有。Y(g) 表示滑移反射[Plass等人，2007]。
图17中所示的方形框架内有一个圆形框架，是最常见的例子之一。萨珊王朝灰泥的一个最常见的例子。这些方块彼此相邻，以形成整个面板。为了创造整个面板。正方形角落里的植被形式是根据旋转对称设计的。为了在表面上扩展这个图形，它们可以被归类为"p1 "墙纸群。
图17：a）来自Ctesiphon的萨珊王朝灰泥[Pope 1938]；b）作者的几何学分析
在图18中正方形的中心，通过与包含相同半径的弧线相交，形成一个八角形。它为中心花的定位提供了一个合适的位置。值得注意的是，中间形成八角星的两个正方形的边被显示为以下—上的方式交织在一起。这个样本也显示了模块在两个方向上的延伸。在圆的框架和方的框架之间设计四分之一的负空间已经被考虑到了，以便通过延伸创造一个更新的形式。在方形框架中嵌入一个圆形框架，用方形的比例来确定圆形的比例，其内部组件可以显示出构图中的进步。设计师塑造了一个四分之一的图案，在整个板块中重复模块后，将方形角落的负面区域转化为新的正面形式。在这些样本中，我们可以看到主要圆圈之间的关系以及它们在设计中形成次要标尺线的作用。它可以归入"pmm "墙纸群。
图18：a）来自Ctesiphon的萨珊王朝灰泥[Pope 1938]；b）作者的几何学分析
图19中面板的图案包括垂直轴对称性。每个图案中的叶子都是以相同半径的弧线为基础制作的。这些弧线构成了整个面板的几何结构。这个样本可以被视为 "pm "墙纸群。
图19：a）来自Ctesiphon的萨珊王朝灰泥[Ferrier 1989]；b）作者的几何学分析
图20中的植物性图案与几何学上的细分相结合，塑造了图案的最佳位置。事实上通过旋转分割系统，整个装饰板根据中心点被分成了一些部分。这些变化是中心秩序和旋转对称性的伟大演变，在这些领域逐渐取得了进展。这些对创造更复杂的几何设计的影响将在下面的数字中显示。在这个例子中，叶子的形式可以被认为是重复的单元，可以被归入 "p4 "墙纸群。
图20：a）萨珊王朝的灰泥，德黑兰的伊朗-巴斯坦博物馆；b）作者的几何学分析
图21是应用旋转对称性的一个高级例子。它显示了萨珊王朝灰泥装饰中超越基本框架的进展。它还显示了极地几何学和矩形几何学的同步使用。在这个样本中，通过使用1:4的比例并将其划分为微小的细节，他们实现了一个被称为Farreh-Gerdab的图案，这是一个阿契美尼德风格的漩涡曲线，对应于一个圆的结构及其在任何方向的延伸。这种形式类似于阿基米德螺旋线。它可以被视为 "p4 "墙纸群。
图21：a）萨珊王朝的灰泥，德黑兰的伊朗-巴斯坦博物馆；b）作者的几何学分析
图22展示了一个很好的旋转对称、中心组织和延伸设计元素超出框架限制的例子。在这个例子中，Farreh-Girdabb符合正方形的复杂结构。中间的菱形是由螺旋重叠而成的。这种装饰性图案超越了广场的简单几何结构，实现了一种平衡，使装饰形式从静态的构成变为动态的、复杂的构成成为可能。两种不同的几何系统结合在一起创造了一种新的多产的调制。每一个方形框架都是一个独立的设计，与其他框架相结合可以产生新的设计。这种连续的重复是无限的。超越基于简单方块的几何特征的框架是这个粉刷作品最重要的特征。这个样品可以被认为是“p4m”墙纸群。
图22. (a): 来自Ctesiphon的萨珊王朝灰泥[Pope 1938]。(b): 作者的几何学分析。
5 结果
为了准备得出关于在萨珊王朝的灰泥装饰设计中使用实用几何和几何饰带群作为组织元素的结论，上述所有灰泥图案汇总在以下表格。
萨珊王朝的灰泥
重复性单元
特点
简单地重复一个主题。第一种饰带群。
平移对称。
两个不同的主题。
交替的节奏。
第三种饰带群。
平移和垂直反射对称。
第三种饰带群。
平移和垂直反射对称。
交替的节奏。
第三种饰带群。
平移和垂直反射对称。
第三种饰带群。平移和垂直反射对称。
第七种饰带群。
平移、水平和垂直反射以及旋转对称。
垂直对称性。
图案遵循第三组饰带群。
饰带群以第一组饰带群为基础。
第四种饰带群F4，包含了平移和旋转（通过180度旋转）对称性。
第五种饰带群F5，包含平移、滑移反射和旋转（180度旋转）对称性。
第五种饰带群F5，包含平移、滑移反射和旋转（180度旋转）对称。
第四种饰带群。
平移和旋转(180度旋转)对称。
第六种饰带群：
平移和水平反射对称。
旋转对称。
“p1”墙纸群。
在角落里设计象限的图案。
在重复的过程中创造新的图案达成旋转对称。"pmm "墙纸群。
垂直对称性。"pm "墙纸群。
超越了基本框架。
设计的复杂性。
结合旋转几何和正交几何旋转对称。
“P4”墙纸群。
极轴几何体和矩形几何体的组合。
设计的复杂性。
结合了各种几何系统。
“P4”墙纸群。
结合矩形和极坐标几何系统。
新的节奏，而不是基本方格的简单节奏。
设计的复杂性。
基本框架的延伸。
“p4m”墙纸群。
表3：本研究中的灰泥图案汇总
6讨论
生动、准确、比例设置、对称和交响乐设计，以及对富有表现力和雄辩的主题的使用，以及对设计原则的巧妙应用，似乎在波斯文化的各个阶段都是自然和赋予的[Pope 1965]。几个世纪以来，波斯人一直有数学头脑，波斯人设计的一些原则反映了这种特定类型的数学思维[Pope 1938]。
这项研究表明，在萨珊王朝的灰泥装饰品中，整体和部分之间存在着强烈的关系，调节着线条、比例和重复的节奏。这些联系通过萨珊王朝的灰泥装饰确定了实用几何学的进展。通过重复相同的数字并改变它们的相互关系，可以获得大量的图案。当主要图案被确定，过程被定义后，即使是非常复杂的结构也可以通过确定其组成部分进行分析。我们的分析表明，在萨珊王朝时期，工匠和建筑师在复杂的几何规则方面表现出很高的成就。他们一定理解并发现了重复的单元，并将其视为绘制和执行灰泥图案的主要设计元素。他们扩展了基本框架和重复单元，以获得几何图案，并在基本框架和灰泥设计的其他部分之间建立几何关系。通过考虑重复单元，我们将这些灰泥装饰品归入七个饰带群对称组。图2、8和9遵循第一种饰带群F1，它们包含平移对称。图3、4、6、7和9（图案本身），是第三饰带群F3，包含平移和垂直反射对称。图10和14是基于第四饰带群F4，包含平移和旋转（转半圈）对称。图12和13遵循第五组饰带群F5，包含平移、滑移反射和旋转（转半圈）对称。图15被归类为第六饰带群F6，包含平移和水平反射对称。最后，图8（图案本身）是在第七饰带群F7的基础上，包含所有的对称性；平移、水平和垂直反射以及旋转。这些例子中的一些也可以结合十七个墙纸群来考虑。在图17中，平面设计可以归类为 "p1"，图18归类为 "pmm"。在图19中，整个设计可以归类为 "pm"，图20和21为 "p4"。20和21为 "p4"；图22为 "p4m"。
这项研究使我们得出结论，萨珊王朝的工匠们非常重视作为设计主要元素的节奏。多种节奏的应用和从简单节奏中创造新的节奏是萨珊时代装饰品设计的主要特点之一（图22）。萨珊王朝的建筑装饰品表明，在主要图案的重复过程中创造了新的图案（图17、18、22）。演变的一个例子是在图案反向重复的基础上，应用正弦曲线的形式来制作装饰图案（图12）。
复杂的螺旋形和波浪形在这一时期被使用。此外，这一领域的重大进展是极地几何与矩形几何的同步化，这创造了更复杂的几何图案（图21、22）。萨珊王朝灰泥的另一个发展是设计主要设计的四分之一，并将其转移，以便在旋转对称性的帮助下形成整个设计（图22）。
7 结论
总之，我们可以将萨珊王朝灰泥装饰品中存在的实用几何学的最重要发现总结如下。1）将图案划分为重复的单元；2）考虑将节奏的概念作为主要的设计元素；3）在重复两个或更多的图案时存在替代的和正弦的节奏，在重复主要图案时从简单的节奏和新的图案中创造新的节奏；4）使用旋转对称性。5）极地和矩形几何的同步，通过设计一个四分之一作为重复单位来传递图案；6）依靠弧线和圆的分割及其重叠，超越简单的比例；7）基于模块的设计；8）用各种图案从简单的节奏增加到复杂的节奏。此外，在设计图案时，萨珊王朝的工匠们以这样的方式使用重复的单元，我们能够按照饰带群和墙纸群进行分类。这些特征表明萨珊王朝的建筑师在创造灰泥装饰的过程中，有能力理解几何学和应用实用几何学。
虽然萨珊王朝灰泥设计中的图案适合我们当代的几何知识（即饰带群和墙纸群），但我们无法验证萨珊王朝的工匠在多大程度上将这些想法概念化。然而，我们可以得出结论，他们拥有高水平的数学和几何知识，因为他们处理的问题与我们在自己时代讨论的问题相同。数学知识的应用和灰泥装饰品的执行验证了萨珊王朝的建筑师和工匠们在实用几何学方面的高水平。
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