各位朋友，大家好！“数学视窗”继续与大家分享中考数学试题，选取有一定难度的题进行讲解。今天分享的是2021年广东中考数学试卷第25题，此题是有关二次函数与平行四边形的综合题，有一定难度。这道题考查了二次函数图象及性质，平行四边形的性质，一元二次方程的根的判别式等知识。下面，我们就一起来看如何解答这道题吧！
例题：（2021·广东第25题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），且对任意实数x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析与解答：（以下的过程仅供参考，部分过程有所省略，可能还有其他不同的解题方法）
（1）∵对任意实数x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6，
∴可令4x-12=2x2-8x+6，
解得：x1=x2=3，
则当x=3时，4x-12=2x2-8x+6=0．
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象必过（3，0），
又∵y=ax2+bx+c的图象过（-1，0），
（把两点坐标代入解析式）
∴a−b+c＝0，
9a+3b+c＝0，
解得：b＝-2a，c＝-3a，
∴y=ax2-2ax-3a，
（下面利用不等式，求出a的值）
又∵ax2-2ax-3a≥4x-12，
∴ax2-2ax-3a-4x+12≥0，
整理得：ax2-2ax-4x+12-3a≥0，
（根据二次函数的性质）
∴a＞0且△≤0，
∴（2a+4）^2-4a（12-3a）≤0，
整理得：（a-1）^2≤0，
则a=1，
∴b=-2，c=-3．
∴该二次函数解析式为y=x2-2x-3．
（2）存在，理由如下：
令y=0，得x=3或-1，则A点坐标为（3，0），
令x=0，得y=-3，则点C坐标为（0，-3）．
（点M是二次函数图象上的动点．点N在x轴上）
设点M坐标为（m，m2-2m-3），N（n，0），
根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：
（由对角线的不同，可分三种情况讨论）
①当AC为对角线时，
xA+xC＝xM+xN，
yA+yC＝yM+yN，
即3+0＝m+n，
0-3＝m2−2m−3+0，
解得：m1=0（舍去），m2=2，
∴n=1，即N1（1，0）．
②当AM为对角线时，
xA+xM＝xC+xN。
yA+yM＝yC+yN，
即3+m＝0+n，
0+m2−2m−3＝−3+0，
解得：m1=0（舍去），m2=2，
∴n=5，即N2（5，0）．
③当AN为对角线时，
xA+xN＝xC+xM，
yA+yN＝yC+yM，
即3+n＝0+m，
0+0＝−3+m2−2m−3，
解得：m1=1+√7，m2=1-√7，
∴n=√7−2或-2-√7，
∴N3（√7−2，0），N4（-2-√7，0）．
综上，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（√7−2，0）或（-2-√7，0）．
（完毕）
这道题是关于二次函数与平行四边形的综合题，难点是对于平行四边形的存在性要分类讨论，并灵活运用中点坐标公式。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。
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