文化的对称性

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

平面图案，无论是单色还是双色，都可以根据它们的对称性进行分类。本文描述了平面的对称性，以及由此产生的图案分类。

引言

在某种意义上，以非正式的方式讨论的数学(在这种情况下是几何学)的应用，始于瑞士群论家安德烈亚斯·斯皮泽(Andreas Speiser)。1927年(第二版)斯皮泽的前沿群论作品[13]作为著名的Springer “yellow peril”系列丛书的第五卷出现，其总标题是“各篇论文中的数学科学基本原理，特别注意它们的应用”。斯皮泽的书的副标题宣称它的应用是代数学和晶体学。然而，他用了整整一章来论述装饰品的对称性(他所说的“装饰品”通常指的是我在本文中所说的“重复图案”)。这一章的内容隐含地引出了对人类学和考古学的可能应用，本文是对这些内容的非正式介绍。

斯皮泽本人在他的《装饰的对称性》一章中强调的是在古埃及的墓葬中发现的重复图案。他认为对这种平面图案对称性的群论结构的分析是对群论（对他来说）最重要的应用——晶体学群，即空间图案的对称性群的最简单介绍。但除此之外，这些图案的创造是迄今为止被忽视的数学史的一部分，即 "群论的前史"，它通过这些图案一直延续到现在。他引用著名埃及学家弗林德斯-皮特里（Flinders Petrie）的话写道："实际上，要指出那些被证明是独立起源的装饰，而不是从埃及的素材中复制出来的，是非常困难的，甚至几乎不可能。

空间对称的有限群由欧几里德在《元素》中精心构造的五个正多面体来说明，柏拉图认为这五个正多面体对宇宙的基本结构至关重要。但是，斯皮泽说，埃及图案所说明的平面无限对称群的发现，将高等数学的开端比以前承认的要早1000年，即大约公元前1500年。此外，他说，发现图1所示图案的特定的相当复杂的群组（现在称为p4g），"肯定是一个一流的数学成就"。

图1：斯皮泽描述的古埃及图案是一流的数学成就。转载自欧文·琼斯的《装饰的法则》。

但我们想把对图案分析的重点从数学史转向文化研究。这个过程是随着Edith Mueller 1944年博士论文[11]的发表而开始的，该论文对阿尔罕布拉宫的摩尔人装饰品进行了详细的数学分析。我们大多数人认为这是重复图案的文化研究的数学开端，尽管在美国考古学中，类似的想法由乔治-布雷纳德（George Brainerd）在1942年提出[1]，并由安娜·谢泼德（Anna Shepard）在1948年更详细地论述[12]。我将在后面的章节中回到伊迪丝·穆勒（Edith Mueller）的有趣故事。

我自己对使用图案作为研究文化关系的工具的兴趣是在我接触到语言学工具的使用之后产生的。尼日利亚的一位同事来到数学系，解释语言学家如何试图使用比较词表来确定两种有点类似的语言分化后经过了多少时间。当时在约鲁巴人中有一种流行的观点，即他们是古埃及人的后裔，实际上在不远的过去从埃及迁移到了现在的尼日利亚西南部。这位同事比较了两种语言中大约100个基本物体名称的清单，并将重叠词的数量插入一个标准的语言学公式中，得出了两种语言分歧以来的300年时间。这个时间似乎太短了，而且事实证明，他并不十分擅长使用对数，而且把一个小数放错了位置。但这个想法在我脑海中挥之不去，当我读完Speiser的书并更仔细地看了Edith Mueller的论文后，我觉得对图案的比较，也许通过它们的存在或不存在，或者通过它们出现的频率，可以提供关于空间上或时间上相邻的文化之间关系的信息。

这一过程的第一步是学习如何对重复图案进行分类。晶体学家在19世纪已经为空间图案做了这项工作，波利亚表明他们的结果包括平面图案的必要信息，这也是斯皮泽文本中包含的信息，并被穆勒应用于阿尔罕布拉宫的装饰。所以接下来我需要找到一些研究生，他们会对各种非洲文化做类似的分析。但是，可惜的是，在那些日子里，没有 "Art and Mathematics "会议，也没有 "Bridges"会议，对这种跨学科活动也没有兴趣。甚至当我得到一笔小额资助来雇用一名学生助理时，我在威斯康星大学也找不到合适的人选。直到克劳迪娅-扎斯拉夫斯基（Claudia Zaslavsky）向我寻求帮助，出版她的《非洲的重要性》[15]，我才意识到我必须自己来做这件事。最终我遇到了多萝西-沃什伯恩，她自己意识到，为了研究阿纳萨兹陶器，需要一种健全的数学方法，并为此重建了大部分的晶体学分类。我们一起编写了一本手册《文化的对称性》[14]，供人类学家和考古学家使用。下一节将描述这个图案分类工具，并提到一些已经被应用到的文化现象。最后一节将报告对斐济和汤加的两次小型实地考察，以及在那里和在巴布亚新几内亚的金钟岛发现的 "双色 "图案的性质。

1. 几何原理

2.1 欧几里得平面对自身的四种刚性运动。研究和创造重复图案的基本工具是对称性。其同义词是刚性运动和等值线，它们经常被用来强调对称性的定义属性，即对称性是平面对自身的距离保全变换。熟悉的例子是围绕一个给定的点旋转一个给定的角度，在一个给定的方向平移一个给定的距离，以及在一条给定线上反射。以下是一些具体的例子。

旋转。如果我们把一张平坦的纸放在桌子上，用一根针穿过纸上的某个点，然后把整张纸绕着针转了四分之一圈（90°），就完成"围绕P点旋转90°"，如图2所示。(当然，这张纸并不是它所在的整个平面，但人们习惯于把它看作是整个平面的代表。在我们讨论的整个过程中，我们会注意到，我们谈论的是一个在所有方向上都延伸到无限大的平面，尽管这些想法的实际应用总是在其无限大的平面中的一个有限的片断（如纸片，或100米上的织布样本）。

图2：围绕点p旋转90°

平移。假设一张平坦的纸(平面)放在桌面上，一条边沿着桌子的边缘。然后假设纸被直接推离你，所以它的边缘现在是三英寸远，但仍然平行于桌子的边缘。该操作是在垂直于桌子边缘的方向上平移3”的距离。在矢量语言中，描述这种转换的矢量长度为3英寸，方向垂直于桌子的边缘。向量和平移之间有一个精确的对应关系：平面中的每个向量都定义了一个唯一的平移，平面到自身的每个平移都可以被描述。通过平面上一些向量。请参见图3，了解将图片重新挂在墙上通常代表图片的平移。

图3：按照向量v平移

反射。如果在一张纸上画了一条直线(也就是平面)，纸沿着这条线折叠，那么线一侧的每个点P都靠在线的另一侧的某个点P‘上。将每个点P带到其相应点P‘的变换是直线上的反射。这个名字是由这样一个事实来解释的，即如果一面直边镜沿着垂直于纸张平面的直线放置，那么P在镜子中的表观位置就是刚才描述的点P‘。点P和它们的图像P‘之间关系的另一种描述是，如果垂直线段从P落到(展开的)纸上的线上，然后在线的另一侧延伸相同的距离，则延伸线段的末端是P’。图4示出了线I中的三个点A、B、C对它们的三个图像A‘、B’、C的反射(请注意，术语刚性运动有时可能稍具误导性，因为与无需将图形从其平面上抬起即可执行的旋转和平移相比，实际上不能在不将图形从其平面上抬起的情况下对其进行反转方向的等距测量，例如反射)。

图4：按照直线l反射

还有一种不太熟悉的对称性，它很容易描述，但在实践中通常更难识别。它就是滑移反射。

滑移反射。如果平面内的每一个点P被一个给定的矢量v平移，然后在平行于v的直线I上反射到点P'，那么把P带到P'的变换被称为滑移反射，而直线I是滑移反射的轴。图5中的脚印是为了暗示滑移反射。线路一侧的每个脚被矢量v平移，然后反射到线路另一侧的下一个脚。图6显示了这种情况的二维版本，其中两个水平滑移轴被标记为虚线。

图5：一维图案中的滑移反射

图6：二维图案中的滑移反射

引入滑移反射的概念似乎是多余的，因为它是其他两个等分点的组合。然而，即使我们通常不这样认为，平移和旋转本身就是（两个）反射的组合。

事实上，反射是构建所有等距图的基础，这是一个基本事实。然而，这种将质数作为所有数字的组成部分的肤浅类比远非准确。首先，没有一个等距图被唯一地表示为反射的组合，与一个数可能具有的质因数的数量没有上限的事实相反，表示任何给定的等距图不需要超过三个反射。后一个事实，即“每个等距图都是(三个或更少)反射的组合”，是证明以下基本原理的关键步骤：

定理：平面在自身上的每一个刚性运动(即等距运动)，不管看起来有多复杂，都是上述四种运动之一。也就是说，每一个刚性运动要么是旋转、平移、反射，要么是滑移反射。

(在解释这个定理时，注意"刚性运动"只涉及平面上各点的初始位置和最终位置。例如，将图3中的画带到其新位置的平移，仅由原始位置和新位置定义。任何中间运动，如把画放在地板上，同时决定它应该去哪里，都不是平移的一部分。)

这个定理的证明可以在[14]的附录1中找到，也可以在许多标准的几何学文本中找到。教科书中。鉴于每个等值线都是由一个、两个或三个反射组成的，不难证明，两个反射的组成是一个平移（如果反射线是平行的）或一个旋转（关于它们的交点，如果两条线相交），而三个反射的组成是一个反射或一个滑移反射。这些事实完成了证明。

当在平面上作图时，平面上可能有各种（刚性）运动，将图上的每一点都带到图上的一个点上。例如，如果用圆规画一个完美的圆，那么围绕圆心的任何旋转都会把圆上的每一个点带到圆上的另一个点上。如果图4所示的脚印图永远向左和向右延伸，那么矢量2v的平移就会把一个脚印上的每一个点带到另一个脚印上的一个点。在第一种情况下，我们说这幅画 "允许旋转"，或者说 "围绕圆心的旋转是这幅画的一个等值线"。在第二种情况下，我们说该图画 "允许平移"，或者具体地说，"平移2v是该图画的一个等值线"。在图案的系统分类中，出现了一些问题，如 "是否有旋转？"或 "是否有平移？" 第一个问题的答案是 "是"，对圆来说是，对脚印来说是 "不是"。第二个问题的答案是，对圆来说是 "不"，而对脚印来说是 "是"。另一个常见的问题是 "有反射吗？"，对圆来说，答案是 "有"（在通过圆心点的任何一条线上），对脚印来说是 "没有"。

2.2维度(1，2)。像圆这样不允许任何平移的图形叫做有限。像脚印串这样只允许向一个方向(及其相反方向)平移的图形被称为一维，或者更简单地说，称为饰带。像图7中婆罗洲的图案(想象在所有方向上延伸到无限远)这样允许在两个方向上平移的图形被称为二维。(图7中标记了两个翻译向量。注意，如果有两个方向的平移，那么就有无限多个方向的平移，因为这两个平移向量可以以无限多种方式组合)因此，维数完全由图形所允许的平移的性质决定。

图7：二维图案显示两个方向的平移向量。

2.3.七种一维图案。不难看出，一维图案所允许的等距图的种类是有限的。根据定义，只有一个方向的平移(与之相反)。这意味着如果有滑移反射，它必须与平移方向相同。(因为，如果滑移反射位于不同的方向，则应用两次滑移反射会产生该不同方向的平移-以足迹为例，其中两次应用滑移反射会在滑移反射的方向上平移2v。)。此外，不难看出，任何反射都必须在平移方向上(为方便起见，我们称之为“水平”)或垂直于该方向(即，“垂直”)，因此只能有这两种反射。最后，唯一可能的旋转是半圈(180°)，它将平移向量与其相反方向互换。

因此，除了每个一维图案中都存在的平移（通过v及其倍数）外（根据定义！），一维图案只有四种可能的等值线：在与v平行的线上的反射（"水平反射"），在与v垂直的线上的反射（"垂直反射"），二重旋转，以及滑移反射。请再次注意，"水平反射 "只是作为 "在无限的中心轴上的反射 "的缩写，而 "垂直反射 "是指在垂直于带的方向的线上的反射。

在一个给定的一维图案中，这四种都可能存在，也可能不存在。这意味着，这四种等值线有16种可能的组合。乍一看，似乎会有16种可能的一维图案。然而，一些简短的论证（可以在[14]的附录2中找到）表明，这些组合中的九个实际上是不可能的。例如，假设我们试图构建一个具有水平反射和垂直反射的一维图案，但没有二重旋转。可以很容易地验证，在与之成直角的一条线上，一个反射和另一个反射是一个半音符。因此，建议的组合是不可能的；两个反射的存在保证了二重旋转的存在。其余的七个组合实际上是可以发生的。图8显示了圣伊尔德丰索（San lldefonso pueblo）的陶器中所有七种组合的例子[7]。

Marjorie Senechal为一维图案提出了一个简单的命名系统，并已被相当广泛地使用，尽管它肯定不是你在文献中找到的唯一的命名系统。七种图案中的每一种都有一个双符号名称，获得方式如下。

如果有一个垂直反射，第一个符号是m；否则是1。

如果有水平反射，第二个符号是m；否则，如果有滑移反射，则为g，如果有二重旋转(但没有滑移反射)，则为2，否则为1。

不需要很长时间就能熟练地识别和标记七种一维（带状）图案的真实世界的例子。为了练习，读者可以尝试验证图8中的新墨西哥州San Ildefonso pueblo图案是否被正确标记。

在许多文化背景下，所有七种饰带图案都会出现。在今天的尼日利亚，可以看到中部非洲的巴库巴和古老的贝宁王国的例子[2，3]。然而，在给定的上下文中，各种图案出现的相对频率差别很大。例如，在美国西南部的阿纳萨兹陶器中，大约70%的可识别饰带图案只有二重旋转对称和平移(类型12)。这与作者在加纳贝尼奥遗址研究的烟斗形成了鲜明对比，在那里，近70%的饰带图案具有所有四种可能的饰带对称性(类型为mm)[4]。

图8：来自新墨西哥州San Ildefonso pueblo的所有七个一维图案的示例。

2.4.十七个二维图案。我们可能希望平面中二维图案的分类能够以与平面图案的简单分类相同的方式进行，考虑到存在更多可能的平移、旋转、反射和滑移反射的事实。然而，乍看之下，似乎有太多可能的等距——由无限多角度的任意旋转(不仅仅是饰带图案的半圈)，几乎任何方向组合的直线反射，所有方向的平移和滑移反射。幸运的是，由于所谓的“晶体学限制”，它并没有那么复杂(尽管它过于复杂，无法简单概述)。

不管名字是什么，这个限制是一个纯粹的几何限制，它说，对于任何允许在一个以上方向上平移的图案，唯一可能的旋转是180°，120°，90°和60°，也就是说，旋转半圈，三分之一圈，四分之一圈，或者六分之一圈。另一种说法是，不能旋转五分之一圈，或者小于60°。你可能认为你已经在如图9a所示的图案中看到了五边形对称，但是仔细检查后发现这个图案只有二重旋转。同样，图9b中的图案看似八边形对称，但实际上只有四分之一圈。

图9a：这个二维图案没有五重旋转对称性。

图9b：这个二维图案没有八重旋转对称性。

作为旋转限制的结果，反射线(或滑移反射)之间的角度也受到限制(因为以给定角度组合线中的两个反射会产生两倍于该角度的旋转)。因此，尽管它们之间的相互关系比一维情况下要复杂得多，但它们的组合并不像看起来那么多。仔细分析表明，实际上只有17种组合，因此只有17种二维图案。图10给出了一个有用的流程图，用于识别任何给定的重复二维图案的类型。符号是标准的晶体学符号。

图10：确定17个二维图案中任何一个的类型的流程图

不幸的是，与一维的情况相比，没有真正简单的方法来推导这些符号，尽管随着使用，人们开始认识到这些符号的一些意义。例如，名称中出现的数字表示存在相应的旋转；出现m或g表示存在反射（m表示镜像，g表示滑移反射）；而c表示一些设计者语言中的 "1/2阶段"。图11显示了这一点。在那里，波兰托伦的粮食仓库建筑外墙的窗户位置（省略最上面的那扇）。(哥白尼的出生地)的外墙，产生了一个pm型的图案。如果窗户是长方形的，从而允许在水平线和垂直线上的反射，那么这个类型将是pmm。然而，在土耳其佩尔热（Perge）的罗马瓷砖铺面中（与几何学家阿波罗尼乌斯（Apollonius）有关），各个菱形只在一个方向上具有镜像对称性，它们的排列方式是 "half-drop"；因此该图案属于cm型。最后，中国的 "裂冰 "图案具有60°旋转对称性（围绕六角形的中心），但没有反射。因此，它的类型是p6。

图11a，b：波兰托伦的粮仓和土耳其佩尔热的罗马马赛克。

图11c：中国的路面图案。

图12中给出了17种图案的示意图。在许多情况下，可以通过简单地将一个给定的图案与其中的一个原型相匹配来识别现场。然后可以用流程图来检查这种识别的正确性。在实践中，读者可以验证图9a的图案是pmg类型（垂直线上的反射，以及水平线上的滑移反射），而图9b的类型是p4m，与国际象棋棋盘相同。

图12：17种二维图案的示意图。

3 伊迪丝·穆勒的故事

我们许多人都认为，伊迪丝·穆勒(Edith Mueller)是第一个在文化背景下对图案进行重要研究的人，事实上，她既不是数学家，也不是晶体学家，而是天文学家。尽管她的研究涉及格拉纳达阿尔罕布拉宫的装饰工作，但她从未在格拉纳达居住过，也从未在原地研究过这些装饰。她的父亲是一位住在马德里的瑞士工程师。还在上高中的时候，她就受到了詹姆斯·金斯爵士的《我们周围的宇宙》的启发，成为了一名天体物理学家。1937年，她在苏黎世大学开始了她的大学学习，并以此为目标。然而，这位天体物理学教授不鼓励任何人从事天文学工作，首先是因为这是一门非常难的学科(他并没有试图让它变得容易)，其次是因为很难在这一领域找到工作。她学过斯潘塞的一门普通课程，在这门课程中，斯潘塞讨论了他的群论书中提到的装饰品的对称性。她在马德里长大，曾经去过阿尔罕布拉宫，所以她问斯潘塞是否可以准备一篇关于阿尔罕布拉宫装饰品的论文，提交给数学硕士学位，以便获得一些文凭，获得一份工作。斯潘塞“对这个想法很兴奋”，回到马德里后，她发现了一本书，里面有阿尔罕布拉宫的大照片。她完全根据这本书，对阿尔罕布拉宫的装饰品进行了详细的对称分析，并把得出的论文留在了斯潘塞的家里供他阅读。他半夜给她打电话，说“恭喜你的博士论文!”她回答说:“哦，不，那只是我硕士论文的第一章。”最终妥协了:她会立即提交论文硕士学位(1943年),然后添加一个部分并完成一些课程来获得一个博士学位(1944年),与她的论文,Gruppentheoretische和Strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente来自《格林纳达的阿尔罕布拉宫》[11]。

在这项开创性的工作之后，伊迪丝·穆勒在苏黎世的一所女子学校教了三年的数学。但后来二战结束了，男人们回来了，重新获得了他们的工作。她在苏黎世的天文台找到了一份工作，并在1952年建立了联系，从而获得了世界各地的工作机会。在密歇根大学工作了十年后，她于1962年回到日内瓦，最终成为天文学教授，直到1983年退休。1984年她搬到了巴塞尔，正是在那里，她于1994年向我讲述了她的故事。虽然她曾被Denes Nagy邀请参加1989年在布达佩斯举行的ISIS对称性的第一次会议，但她似乎对她的工作的广泛影响没有什么想法。

一个有趣的插曲是，1948年或1949年，当她在天文台工作时，M. C. Escher与她联系，要求到苏黎世看她的论文，他听说了这一点。虽然当时他多少有些名气，但他还是给她看了他的版画作品集，并送给她一幅《天与水》的原作，（1994年）这幅画就挂在她家客厅的墙上。这个故事可以加入到那些怀疑埃舍尔一再声称自己完全不懂数学是为了效果而夸大其词的人的论据库中。

1. 斐济和汤加的实地考察

在现实世界的图案中，出现由两个全等的部分组成的图案并不罕见，这些部分的颜色是两种不同的颜色。在有限设计的情况下，最熟悉的也许是圆形的阴阳符号。在二维图案中，棋盘是一个熟悉的例子。当图案的对称性的概念被扩展到包括换色的等值线时，图案的数量就会增加：有17个这样的双色带，以及46个双色二维图案。由于n>2的n色图案不是很常见，我们的手册[14]只包括单色和双色图案。虽然在普埃布洛陶器中有许多双色带，如在San lldefonso的陶器上发现的14个装饰[7]，但在太平洋地区，双色图案特别盛行。

4.1. 斐济。在斐济，最引人注目的双色对称的例子是在塔韦尼岛的卡考德罗夫省制作的模版树皮布装饰中发现的，该岛位于纳迪和苏瓦市所在的主岛维蒂莱乌的东北部。尽管作者已经从引人注目的博物馆实例中熟悉了这些图案（事实上，出版商选择了其中一个作为[14]的封面设计），但他在1990年对苏瓦的短暂访问中惊奇地发现，这种工艺仍然活得很好。事实上，因为这个岛是当时斐济总统的家乡，一个穿着这些图案的人形动物在苏瓦的斐济博物馆迎接游客，而在路边的游客中心则贴着Cakaudrove装饰的树皮布。(见图13和14。）我立即开始安排回访这些物品的来源，即总统的家乡塔维尼的索莫索莫村。这是一个与ISIS-Symmetry的Denes Nagy的联合项目，当时他正在苏瓦的南太平洋大学任教。以下段落是对[8]中的详细报告的总结。

图13：1990年，苏瓦，斐济博物馆里的假人，穿着Masi Kesa(斐济印花树皮布)。

图14：斐济总统Fine Nailevu在避暑别墅里，在她的监督下制作了树皮布墙壁装饰品。

在索莫索莫，我们是Fine Nailevu的客人，她负责为图13中的斐济博物馆人体模型制作布料。如图14所示，她坐在总统在索莫索莫的度假屋的墙壁装饰前，监督墙壁装饰的模版印刷。她辅导我们制作树皮布的过程，告诉我们染色过程中使用的模板的名称，并在一个周六的早上为我们模板了两块小布。图15显示了模版印刷过程中的一个步骤，图16显示了一个成品布。

图15：1990年，Fine Nailevu在一块模版树皮布的"瀑布"边上工作。

这些装饰布的最终原料是桑树。直径约2英寸的小树被剥去树皮，树皮的内部被浸泡，然后被捣成几英尺长、一两英尺宽的平板。然后将它们毡合在一起制成更大的薄片，这些薄片又可以切割成各种用途所需的尺寸。传统上由树叶制成的模板现在由更耐用的x光胶片制成。这种染料是从燃烧着的烛树坚果中收集的烟灰，与煤油等溶剂混合制成的。

每个单独的模板都有相同的名称作为重复的图案。例如，用于制作图16中的边框图案的模板由四个相邻的凹口矩形组成，该矩形被应用四次以沿着下边缘制作十六个黑色凹口矩形。之所以称之为“中断的瀑布”，是因为这种相同图案的双排(通常在较大的布料上看到)被简单地称为“瀑布”，这表明图16中的版本是“中断的”。请注意，如果这个模板是唯一一个用来制作这个边框的模板，那么白色的矩形(没有开槽)将与黑色开槽的矩形不匹配。所以一个小的三角形模板被用来在白色矩形上开槽。当我们发现这个小三角形模板叫做。“瀑布完工”！也就是说，Fine Nailevu，以及她之前所有使用这种图案一百年或更久的模版制作者，都和我们一样有着同样的数学渴望。他们想制作一个完美的双色图案，白色部分与黑色完全一致。

图16：图15中的完整布料

我们对在索莫索莫或博物馆收藏的卡考德罗夫布中发现的不同双色图案的数量进行了统计。在17种可能的双色带中，有12种；在46种可能的双色二维图案中，有12种。我们没有足够大的样本，无法对个别类型的相对出现频率做出评价。

最近，Rod Ewins[10]对树皮布在斐济文化中的作用进行了广泛的讨论，并提供了许多插图。他在其他地方指出，重要的是不仅要考虑个别的条状图案，而且要考虑它们在布上的整体排列。因此，虽然沿着图17的中央人字形的条形图案是mg型的，但人字形本身将整块布的整体图案也变成了mg型条形。另一个引人注目的例子显示在作为[14]的外套复制的大布上。这个二维图案是由许多较小的条状物组成的，因此整体图案看起来像p4g类型的过度编织。根据Ewins的说法，单个的Cakaudrove条状图案在空间和时间上都是非常标准化的（一个多世纪前的博物馆标本显示与今天使用的条状图案几乎完全相同）。然而，整块布上的整体布局往往提供了一条线索，说明该布在卡考德鲁夫省内的生产地点。

图17：一块树皮布，以mg型的一维图案显示总体布局。

在20世纪30年代，利兹大学纺织工业系的科学家H.J.伍兹是第一个发表17和46双色饰带和二维图案插图的人，其形式类似于图16的边界，即完全填满边界(或平面在二维情况下)[5]。他的一些插图与Cakaudrove图案惊人地相似，甚至连细节都很相似，比如图16中围绕着中断的瀑布的黑色和白色的小横条。我们知道牛津的皮特河博物馆(Pitt Rivers Museum)拥有一块古老的Cakaudrove布料，图案与伍兹发明的图案非常相似，伍兹是牛津大学的本科生，预计他会去参观皮特河。一个有趣的猜测是，这些伍兹的原型数学绘画可能受到了来自世界另一端的卡考德罗夫图案的启发，至少在潜意识中是这样。

4.2. 汤加。从博物馆的大型汤加树皮布标本来看，人们可能会想象这些布有一些像刚才讨论的斐济布那样的整体对称性。然而，当发现这些大型的汤加布是通过在一张放置了各种图案板的桌子上反复传递来装饰的，我们就会发现基本的整体对称性只是平移的对称。图18a显示了工作台面，每次擦拭后，布都要从上面经过。通过这种方式，桌子上的布下面的图案板上的图案被反复复制，以获得几乎任何所需长度的装饰布。图18b显示了一块完成的长布铺开晾干。

图18a：1989年，努库阿洛法，汤加妇女在装饰和组装长长的塔帕(树皮布)。

图18b：完成的布料，如图18a所示。

然而，有一种迷人的汤加工艺，这种工艺通常在博物馆里是看不到的，那就是椽子绑扎，它有时会产生引人注目的双色图案。以前是功能性的，因为它以一种灵活的方式将椽子绑在一起，可以抵御大风，现在它纯粹是装饰性的。人们发现，混凝土结构柱出现在教堂、银行和汤加贵族住宅等富有赞助人的财产中。几个显著的例子如图19所示。这些都是在1989年至1990年期间，在一位技术熟练的工匠——纽图阿的塔马利的监督下，为新西兰奥塔拉的托卡玛阿南加汤加卫理公会教堂制作的。这种捆绑是通过将两种颜色的椰子纤维缠绕交替缠绕在一个圆柱形的芯上制成的。在构建过程中，最终的图案很难辨别，但最终结果往往是完美的双色图案，深色和浅色区域完全一致，如图19a和c所示

图19a、b、c:1989-90年在纽图阿的塔马利的监督下，为奥克拉德附近的一座汤加教堂制作的三个椽子捆扎。

在汤加还有其他值得注意的双色图案的例子。其中包括篮子作品、主要用于旅游业的编织托盘，以及1980年为努库阿洛法的圣安东尼大教堂开幕而制作的另一种风格的装饰性椽子绑带。更广泛的讨论和照片见于[6]。

4.3.金钟群岛。我们最后一个太平洋的例子出现在金钟岛的功能性和礼仪性黑曜石刃长矛的装饰性绑定上。在46种双色二维图案的列表中，特定底层图案pmm正好有五种双色。这些例子都出现在1870年至1920年间收集的矛上的精心装饰中，目前在两个主要的收藏中发现；芝加哥的菲尔德博物馆和悉尼的澳大利亚博物馆。有迹象表明，矛的制造细节，尤其是装饰，反映了那些年金钟岛的经济和社会变化。从这些矛中可以获得的信息是罗宾·托伦斯正在进行的研究的主题。是不是因为和平时期矛的仪式重要性变得更重要，所以装饰在某些时候变得更加精致？或者，在矛完全没有战争功能之后，设计是否被修改得更符合欧洲收藏家的需求？根据托伦斯引用的一句格言，小黑曜石匕首仍然是为旅游业制造的，那就是大众市场的“机场艺术品”必须便宜、便携、易懂且可除尘。这并不适用于1910-1920年间的这种程度，当时图20中显示的大多数例子都被收集起来了，尽管从那个时期开始，匕首和长矛的数量之比就比早期大得多。

图20a: pmm示意图

图20b，c：图20a中图案的五种“双色”方法显示在来自金钟群岛的装饰长矛上。

不管出于什么原因，图20中所示的五根装饰矛构成了对伴随它们的（未着色的）原型pmm图案进行双色的五种可能方式的完整目录。这是一个有趣的例子，说明独立发现了可能被认为是有点晦涩难懂的几何/群论的事实。或者我们可以说，对对称性的兴趣使我们用不同于玛格丽特-米德在她的经典作品《在新几内亚长大》中使用的眼睛来看待金钟岛。

关于金钟岛和矛的历史的更多细节可以在[9]中找到。

参考文献

[1] G. W. Brainerd, Symmetry in primitive conventional design, American Antiquity 8(2),164-66,1942.

[2] D. W. Crowe, The geometry of African art. Part 1. Bakuba art, Journal of Geometry 1,169-182,1971.

[3] D.W. Crowe, The geometry of African art. Part 2. A catalog of Benin patterns, Historia Mathematica 2, 253-271, 1975.

[4] D.W. Crowe, The geometry of African art. Part 3. The smoking pipes of Begho, in The Geometric_Vein: The Coxeter Festschrift, edited by C. Davis, B. GrUnbaum, and F. A. Sherk, 177-189, New York: Springer, 1982.

[5] D.W. Crowe, The mosaic patterns of H. J Woods, in Symmetry: Unifying Human Understanding, edited by 1. Hargittai, 407-411, New York:, Pergamon, 1986.

[6] D.W. Crowe, Tongan symmetries, in Science of Pacific Island Peoples, Part IV, Education, LangUage, Patterns and Policy, edited by J. Morrison, P. Geraghty, and L. Crowl, Suva:Institute of Pacific Studies, 1994.

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[10] R. Ewins, Symmetry and semiotics: The case of Fijjian bark-cloth decoration, to appear in Embedded Symmetries, Proceedings of a symposium at the Amerind Foundation, Dragoon, Arizona, April 13-17, 2000, edited by D. K. Washburn, University of New Mexico Press.

[11] E. Mueller, Gruppentheoretische und Strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada, Ph.D. diss., University of ZUrich, Riischlikon, 1944. .

[12] A. O. Shepard, The Symmetry of Abstract Design with Special Reference to Ceramic Decoration, Contribution no. 47, Carnegie Institution of Washington Publications no. 574, 1948.

[13 ] A. Speiser, Die Theorie der Gruppen endlicher Ordnung, 2 nd edition, Berlin: Springer, 1927.

[14] D. K. Washburn and D. W. Crowe, Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis, Seattle: University of Washington Press, 1988.

[15] C. Zaslavsky, Africa Counts: Number and Pattern in African Culture, Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1973.

[16] Donald W. Crowe, Symmetries of Culture

青山不改，绿水长流，在下告退。

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