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安哥拉/扎伊尔绍奎人的sona绘画是一种特别吸引人的“镜像曲线”图案，可以想象成一条曲线穿过一排点，从一些点之间的“镜子”上反弹，留下一条封闭的痕迹。绍奎人的艺术审美强烈倾向于镜像曲线：(1)将每个点与其他点分开；(2)生成单线条欧拉环路；(3)对称。在本文中，我们将重点讨论点的对称布局何时会有一组(对称的)反射镜，从而得到的sona不仅是单线的，而且是对称的。这似乎反映了绍奎人自己在构造这种sona时的艺术价值，我们认为，由这些构造产生的sona将在他们的文化审美范围内吸引绍奎艺术家，并使其他人感到愉悦。

1.引言和术语

生活在安哥拉和扎伊尔的绍奎人有一种沙画，引起了大量数学家关注(例如Ascher，1991；Gerdes，1994-2007，Jablan 2009，Kubik 2006，Schlat2004)。这种沙画叫做sona，它有几种不同的形式，但其中一种更常见，也是最数学的形式，由一条曲线穿过网格的点网格组成，从网格的外部边界“反弹”出来，形成一条连续的曲线。图1所示的“带幼崽的豹子”就是这样一幅图画的一个例子，它在基本设计上增加了一些额外的特征，以表示母豹(水平)和她的两只幼豹(垂直)的头部和尾巴。

图1：沙画“带幼崽的豹子”，另外还有母豹(水平)和她的两只幼豹(垂直)的头部和尾巴。

我们说，sona网格是均匀间隔的点的任意布局，我们将假设它是整数格的子集，其性质是点的集合相对于单位格中的邻接是连接的。在讨论sona网格时，我们指的是网格的边界多边形。这是可以使用水平线和垂直线构建的最小的连通直线多边形，它围绕sona网格，与网格的所有点之间有单位的间距。例如，图2中的粗线显示了“带幼崽的豹子”主要部分的边界多边形。我们可以看到由这样一个网格构成的sona，它是由一条曲线画出的，画在点之间的对角线上，并从这个边界多边形的壁上“反弹”。虽然这是一个有用的比喻，但曲线实际上并没有到达墙壁，像形状奇怪的台球桌一样反弹，而是平滑地弯曲，以避免碰到那些边缘。一个相关的想法是网格的边界矩形；包围此边界多边形的最小水平对齐矩形。这在图2中显示为较浅的线条。

图2：“带幼崽的豹子”的边界多边形(深框)和边界矩形(没有添加豹子的头和尾)。

并不是所有的Sona网格都会产生可接受的Sona图形，因为绍奎人美学通常需要三个标准才能绘制这样的图形。首先，这条线必须画成一条曲线，“平稳地”通过每个交叉点——例如，不能在曲线的两个部分交叉的地方拐弯。其次，它们要求Sona网格中的每个点都必须被包围，并与其他点分开。最后，他们希望最初的绘图(不包括后来添加的附加脚、尾、头、角等)在某种程度上应该是对称的。

对于许多更有趣的sona，绍奎人艺术家绘制的曲线包括网格布局本身内的转弯。图3所示的三个传统sona证明了这一点。查看这种sona的一种常见方式是想象网格内的一系列墙壁，并将曲线视为这些墙壁的“反弹”。这将这些绘图设置在“镜像曲线”的数学框架内，例如由S. Jablan和其他人的研究成果。(但我们应该强调的是，绍奎艺术家一般不画这些墙。)

图3：三个绍奎人的传统sona沙画的例子，以及反映其结构的墙壁。中间的一个有墙和没有墙。前两个sona具有D2对称性；最后一个sona具有近似的C4对称性，尽管为了实现单线性，还必须增加一堵墙。

上图所示的墙垂直放置在两个点之间。一种相似但不同类型的墙可以用来描述许多凯尔特结设计，这些墙从一个点延伸到相邻的点，如图4所示。这种类型的墙有时也被绍奎人使用，我们将垂直放置的墙称为“绍奎墙”，以区别于“凯尔特墙”。为了将这些墙的概念与Sona网格结合起来，我们说Sona配置是一个Sona网格和一组(可能是空的)绍奎内部墙。如果一个SONA配置S需要k个环路来绘制，使用绍奎人的技术，那么我们说CS=k(其中C代表“环路”)。因此，我们主要对CS=1且在某种程度上对称的SONA构型感兴趣。

图4：使用“凯尔特墙”的单线图示例。绍奎人在他们的一些sona中使用了这些墙，但使用频率较低，本文不使用。

2. 构建对称sona的数学工具

在sona配置中增加或删除一堵墙对C的影响取决于墙的确切位置。Chavey & Straffin (2010)表明，每当增加或删除一堵墙，sona配置所需的环路数总是会改变1。该定理中与此相关的部分是。

定理1 (Chavey & Straffin):如果在具有CS环路的sona配置S中添加或移除绍奎墙，那么新的sona S '将具有CS' = CS 1环路。如果拆除了分隔两个不同S环路的墙，那么新的sona S '将具有CS ' = CS–1环路。如果拆除了分隔同一环路两个不同部分的墙，那么新的sona将有1个附加环路，即CS' = CS + 1。

这是我们用来显示某些网格布局不能产生单线SONA的主要工具。这个定理将允许我们计算SONA构型的CS的奇偶性。如果奇偶性是偶数，那么我们知道不可能有单线SONA；如果奇偶性是奇数，我们通常可以找到一组墙，使得CS=1。

用于构建对称SONA的第二个工具的结果如下(Chavey&STraffin，2010)：

定理2(Chavey&STraffin)：任何Sona网格都会有绍奎墙的某种排列，这样得到的Sona构型就会生成单线图形。

这个定理，本质上是欧拉定理在欧拉环路中的一个推论。虽然从这个定理得到的sona一般不会是对称的，但我们将能够在对称sona网格的多个区域一致地使用这个结果来构建一个对称的组合sona。

3.对称SONA

Chavey (2010)的论文考虑了具有条形对称或壁纸对称群的sona构型的存在性。在那篇论文中，我们将自己限制在矩形sona网格内的对称sona，并允许在从理论上无限模式绘制有限sona时必要的边界不规则性。相比之下，这里我们研究Cn和Dn(循环群和二面体群)的更简单的有限设计对称群，但是我们考虑任何形状的sona网格。此外，我们对构建精确对称的sona感兴趣，例如在边界没有任何“修改”，或者“近似”对称，例如图3中的最后一个sona。虽然这些对称的设计看起来比壁纸设计更简单，但它们代表了真正绍奎人sona的一个重要群体。例如，在Gerdes (1994)中出现的本文所讨论类型的sona设计中，我们统计了以下数量的对称类型:

因此，如果我们想要用数学思想来模拟绍奎人的SONA设计，这个图表清楚地表明，模拟这些有限设计对称群的结构是很重要的。(这些数字是近似值，因为关于本文讨论的哪些设计属于“类型”，决定SONA更像条形设计还是有限设计等等，都存在一些主观问题。)因此，在本文的其余部分，我们将考虑这个问题：

主要问题：给定一个本身具有Cn或Dn对称性的sona网格，能否能找到绍奎墙的集合，从而使最终的sona配置具有相同的对称性？

请注意，我们对“sona网格”的定义假设该网格相对于单位格中的邻接是连通的。断开的布局不能生成单线SONA，尽管我们可能会在校样中临时生成断开的点布局。如果一组点中没有“洞”，我们称Sona网格为“单连通”，如图5中的Sona。当我们的许多结果被限制在单连通布局时，我们的许多结果可以更简洁地表达出来。当定理后面紧跟着单连通布局的推论时，我们建议先阅读推论。

为了确定何种情况可以将对称的SONA网格转换为对称的单线SONA，我们将分别分析Cn或Dn对称群。我们反复使用的一种方法是：使用墙壁将SONA分解成基本区域，即设计的由Cn或Dn的对称移动的部分，以便覆盖所有(或大部分)设计；在一个基本区域的点上构建Lusona，并在该区域的每个副本上复制该Lusona；然后移除一些原始墙壁，以便将结果合并为单线Sona。我们从一个简单的案例开始：

定理3：如果S是任何具有双边对称性的sona网格，即具有对称组D1，并且(1)S具有偶数宽度，或者(2)反射线上的布局点与单元格中的邻接点相连，那么总是可以添加绍奎墙，以保持该对称性并创建一个单线性sona。

推论3a：如果S是一个简单连接的sona网格，对称组为D1，那么总是可以添加绍奎墙，以保持该对称性并创建一个单线sona。

Pf：我们调整布局方向，使反射线垂直。如果布局现在有均匀的宽度，我们将墙放在反射上，将布局分成两个基本区域(见图5)。如果一个基本区域被断开，它的镜像将在相同的地方断开，因此组合将被断开，这违背了我们的假设。由于左半部分是相连的，定理2告诉我们有一种方法可以放置墙壁，从而在那半部分上创建一个单线sona，我们在右半部分上镜像它。现在，反射线上的每一面墙都分隔了这个sona的两个环路，所以定理1告诉我们，我们可以移除反射线上的任何一面墙，从而在整个sona网格上创建一个单线sona。

图5：从偶数宽度双边对称sona网格构造单线双边对称sona。

如果布局宽度为奇数，我们会添加墙，将中心反射线上的所有点与sona网格的其余部分分开(见图6)。因为假设中心柱是连通的，我们可以用一条线在这些点上画一个sona。我们在墙的一侧构建一个单线sona，并在另一侧镜像它，创建一个三线绘图。然后，我们移除一对匹配的墙，将这两个主要区域与中心柱分开。根据定理1，移除这两堵墙将三条线合二为一。

图6：从奇数宽度的双边对称的SONA网格构建单线的、双边对称的SONA。

证明表明，至少有一种方法可以构造双边对称的单线性sona，但通常有许多方法可以做到这一点。例如，通常有许多方法可以在布局的一个基本区域上构建单线性sona。一般来说，我们可以通过多种墙壁选择将两半连接起来。此外，如果我们考虑双边偶数宽度sona，移除第二个中心壁(定理1)，将一个环路分成两个。因为这两个环路彼此对称，所以该墙的位置是两个环路交叉的地方，但通常会有另一个中心墙分隔这两个环路的分支的其他地方，因此移除该墙会将两个环路融合成一个(定理1)，从而在该布局上给出另一个单线sona。类似地，如果在图6中，我们移除中心柱周围的另一对墙，定理1告诉我们，我们将以1个环路或3个环路结束。事实上，其中两个选择会给我们其他的单线性sona，而其中只有一个给出了三线sona。

定理3的逆定理也成立：如果sona布局具有奇数宽度，并且中心列没有连接，则不可能在布局上创建单线对称sona。证明这一点似乎比本文中的其他类似结果更困难，这里不包括在内。它可以在本文的扩展版本< http://math.beloit.edu/chavey/Sona/ >中找到

为了用更大的对称群继续这一过程，建立一个适用于所有这些情况的一般引理是有用的。在引理4中，我们采用群论术语，我们说点d(在SONA布局中)的轨道是布局中d被该布局的对称性映射到的所有点的集合。这样的轨道大小始终为1、2、4或8。

定理4：如果一个点d的轨道大小≥2，那么该轨道上的所有点都可以从sona网格中移除，而不改变所产生的sona的CS的奇偶性，除了一个大小为2的轨道，其点是相互相邻的。

Pf: 如果d与sona网格的其他部分断开，该点的sona线以及其轨道上的每个点都将是围绕该点的一个圆。我们可以删除这些点和线而不改变奇偶性。如果d与布局中的其他点相连，它可以通过插入w个墙来断开连接，其中1≤w≤4。如果d与它的轨道上的其他点不相邻（大小为s≥2），那么在这些s-w墙中没有重叠（即重复计算），需要将这个轨道上的点与sona网格的其他部分分开，所以这种分离需要偶数的墙。根据定理1，增加这些墙不会改变图中线的奇偶性。删除这些点周围产生的圆圈（以及现在无用的墙，如果我们愿意的话）也会使奇偶性保持不变。

在s-w中，只有当一堵墙将一个轨道内相邻的两个点隔开时，它才会被重复计算。如果d在一个大小为4或8的轨道中，那么被重复计算的墙的数量是偶数，不管该轨道中的点相邻关系如何，因此分离这些点所需的墙的数量仍然是偶数，该定理对它们也成立。

这个定理表明，某些sona网格将无法支持与sona网格本身具有相同对称性的单线性sona，因为它们将无法支持任何具有奇数线的对称性sona。为了描述何时发生这种情况，有一个边界矩形的中心点的概念是很有用的。这些是可以放置sona点的位置，它们最接近（距离sona网格的旋转中心不到一个单位）。如果边界矩形的两个维度都是奇数长度，就会有一个中心点；如果两个维度都是偶数长度，就会有四个中心点形成一个正方形；如果一个维度是奇数，另一个是偶数，就会有两个中心点，彼此相邻。

定理5：如果S是一个对称群为C2或C4的sona网格，那么当且仅当S的边界矩形中至少有一个维度具有奇数长度，并且边界矩形的中心点是sona网格的一部分时，可以添加绍奎墙以保持该对称性并创建一个单线性sona。

推论5a：如果S是一个对称群为C2或C4的简单连接的sona网格，那么当且仅当S的边界矩形中至少有一个维度具有奇数长度时，可以添加绍奎墙以保持该对称性并创建一个单线性sona。

Pf：推论的简化将遵循定理，因为在具有旋转对称性的简单连接sona中，边界矩形的中心点必须是sona网格的一部分。

如果边界矩形的两个维度都是奇数，或者两个维度都是偶数，则任何保持栅格对称的Sona中的墙都是轨道对(或4组)，因此这些Sona与如果没有墙将构建的Sona没有不同的奇偶校验。如果一个维度为奇数，一个维度为偶数，则除位于sona栅格旋转中心位置的可能墙(由C2映射到其自身)外，所有墙都是如此。因此，我们可以从sona移除所有的墙，除了可能位于奇偶矩形旋转中心的墙，而不改变CS的奇偶性。从原始的Sona网格中，我们可以使用引理4删除布局中除中心点以外的所有点，而不更改CS的奇偶性。如果边界矩形的两个维度都具有奇数长度，并且缺少单个中心点，则删除这些点将得到一个具有0条线的“Sona”，因此任何对称Sona都将具有偶数条线，并且不能是单线线。如果边界矩形的尺寸为奇数到偶数，并且缺少两个中心点(由于旋转对称，它不可能缺少一个中心点而同时缺少两个中心点)，同样的说法也成立。因此，无论哪种情况，SONA网格都必须包括其中心点，才能在布局上构建单行SONA。

如果边界矩形的两个维度都是偶数，则中心点将形成一个2×2的正方形，如果所有4个点都存在，则需要2条线。因此，如果所有4个点都存在或所有4个点都缺失，则该布局上的任何sona都需要偶数行，因此不是单线的。如果有2个点，那么它们一定是中心正方形的对角，对称群一定是C2。但是在这种情况下，这两个点上的sona是两个不相连的圆，也就是一个偶数，所以sona也不能是单线性的。

这就确定了定理所排除的对称sona的不存在；这只是为了证明剩余对称sona类的存在。

如果边界矩形的尺寸是奇数长度乘偶数长度，我们使用墙沿着奇数长度尺寸将布局切成两半(见图7)。与前面的定理不同，这可以将每一半分解成多个相连的组件，如图7所示。我们将定理2应用于每个组件，例如，添加图7左侧所示的灰色墙。如果我们有与中心点不相邻的组件，我们通过为每个这样的组件删除一个对称选择的中心壁来连接它们，例如图7中的“X”-d壁。最后，我们删除了分隔两个相邻中心点的墙，得到了一个单线sona。

图7：从奇数长度、偶数高度、对称的SONA网格构建单线、旋转对称的SONA。

如果边界矩形的尺寸是奇数长和奇数高，我们就用墙来切出一个中心行或列(见图8)。对于每个组件，我们添加墙(以灰色显示)来创建单线组件。对于不与中心点相邻的每个组件，我们删除一面对称选择的墙(如图8中的“X”-d所示)，得到一张3线图(例如图8中的中心设计)。然后，我们删除与中心点相邻的两个墙(如图8中的“XX”-d所示)，将这三条线合并成一条线，如图8右侧所示。

图8：由奇数长度、奇数高度的对称sona网格构造的单线旋转对称sona。

最后，如果对称群是C4，那么边界矩形一定是正方形，并且根据这个证明中早先的不存在结果，我们可以假设它有奇数维。根据定理的陈述，我们可以假设这个边界正方形的中心点是sona网格的一个元素。我们在这个中心点的正下方添加一面墙，并在它的右侧以直线添加墙；然后，我们将墙添加到中心点的其他三个边上，以使其对称，例如，如图9中左侧所示。我们使用定理2来添加墙，使每个组件都是单线的。如前所述，如果一个象限中的某些组件与主组件(即与中心点相邻的组件)断开，我们将沿着每个“旋臂”对称地删除一面墙，直到每个象限都有一个连接的组件。结合围绕中心点的单个圆，这给了我们一个5线图。删除与中心点相邻的四面墙将所有五条线合并为一条。

图9：从奇数维对称sona网格构造的单线4重旋转对称sona。

请注意，定理5告诉我们，没有任何墙的排列会在一个4×4平方的点上产生一个单线性的sona，这样得到的sona具有C4对称性。这有助于解释为什么图3最右边的正宗绍奎sona只能具有“近似”的C4对称性；没有完美的旋转对称是可能的，我们强烈怀疑绍奎艺术家知道这一点。参见Gerdes (2006)，第9章，讨论绍奎如何通过使用“游动线”为均匀大小的正方形构造具有C4对称性的sona，该“游动线”是本文未讨论的sona类的特征。

定理6：如果S是具有对称群D2的sona网格，那么当且仅当S的边界矩形的至少一个维度具有奇数长度并且边界矩形的中心点是sona网格的一部分时，可以添加绍奎墙来保持该对称性并创建单线sona。

推论6a：如果S是具有对称群D2的简单连接的sona网格，那么当且仅当S的边界矩形的至少一个维度具有奇数长度时，可以添加绍奎墙来保持该对称性并创建单线sona。

Pf：推论的简化遵循定理，因为在具有旋转对称性的简单连接sona中，边界矩形的中心点必须是sona网格的一部分。该定理的不存在方面继承自定理5，因为D2设计也必须具有C2对称性。

为了在满足定理条件的网格上构建单线Sona，我们将Sona网格定向为奇数维为水平，使用墙隔离布局的中心柱，并沿水平反射线(除中心柱)添加墙(参见图10)。正如定理3的证明中所指出的，反射对称性保证了每个象限都由连通分量组成，因此定理5中处理多个分量的额外步骤是不必要的。我们使用定理2找出其中一个象限的单线sona，并对称地将该解复制到其他3个象限。这给了我们一幅5线画。移除与两个中心点相邻的中心柱的4面墙将保持D2对称性，并将这5条线合并为一条线，从而创建我们的单线sona。图10显示了特定Sona网格的两个解决方案(在8个可能的解决方案中，每个象限只涉及一面墙)。

图10：从奇数宽度、偶数高度的对称sona网格构造的单线D2对称sona。显示了两种解决方案，它们的不同之处仅在于为各个象限选择的单线性sona。还有其他6种选择，每个象限只有一面墙，还有许多额外的选择，每个象限有三面墙。

最后，我们面临着这些对称布局中最困难的问题，即当对称群为D4时。第3节开头的表格表明，Gerdes(1994)所展示的正宗sona没有一幅具有D4对称性，尽管图11中最左边的sona出现在Gerdes的其他作品中。这与我们的经验是一致的，即用D4对称构造有趣的SONA是相当困难的。我们一直无法令人满意地回答哪些D4对称SONA网格具有D4对称SONA的问题。这个问题的部分解在定理7中给出了。这个定理确实找到了尺寸为5×5或更小的所有D4对称sona网格，我们无法找到任何这样的布局不符合这个定理的条件，但我们不能证明这些是唯一可能的解。

定理7：如果S是具有对称群D4的简单连接的sona网格，S的边界正方形的长度是奇数，并且布局的中心3×3正方形正好由图11左侧所示的3×3 sona的那些点组成，则可以添加Chokwe墙，保持D4对称性并创建单线sona。

PF：为了保持D4的对称性，Sona网格的中心3X3正方形必须是一个完整的正方形，否则如图11左侧所示。如果Sona网格的中心是图11的排列，那么简单连通的假设意味着如果我们在中心点周围放置4面墙，Sona网格的其余部分将分解为4个独立的Sona网格组件，每个组件都是连接的。由于整个sona栅格具有D4对称性，因此这些组件每个都具有D1对称性。根据定理3，我们可以将绍奎墙添加到这些组分中的一个上，以创建双边对称的单线SONA，我们将其复制到每个这些组分上。移除我们最初围绕中心点放置的墙壁会将这些Sona组件中的每一个合并为整个Sona网格上的单个单线Sona。

图11：尺寸为5X5或更小的网格上唯一的D4对称SONA，以及这样的尺寸为7X7的SONA的一个示例。

3.结论

我们将自己局限于一种类型的sona设计，读者应该看到Gerdes的作品(例如1994年、2006年)，以了解其他类型的sona设计。大多数其他设计都具有对称性和单线绘画的魅力，这是绍奎艺术传统的文化价值。然而，这些其他sona使用的技术不仅仅是这个“台球和墙壁”模型。然而，在这一类特殊的绍奎sona中，我们可以找到数学工具来构建几乎所有形状和大小的附加sona。我们也可以用这些结果来解释为什么绍奎发现有必要在sona中“篡改”对称性，如图3中右边的例子。通过这种建模，似乎我们可以构建额外的sona设计，这些设计与绍奎人的艺术审美足够一致，我们觉得绍奎人会对这些设计感到满意。这些对称sona存在的证明为这种对称sona的构建提供了指导，但是为灵活性和实验性留下了足够的空间，这可以为中学到大学水平的学生制作有趣的实验项目。

图12：附加正宗绍奎Sona与Cn和Dn对称。顶排：Muyombo树，鼹鼠和蝙蝠，两个男人在一张桌子上喝啤酒，豹子和5只幼崽。最下面一排：蝎子，木槌，这是一个故事，即使是奴隶也应该得到人道的对待(在Muyombo树上供奉)，以及被撕裂(或被虫子吃掉)的基尼(猫)的毛皮。(Fontinha 1983，Gerdes 2007，Kubik 2006)

4 参考文献

1 Ascher, M. (1991) Ethnomathematics, Ch. 2, §3-4, Belmont, Calif: Wadsworth, Inc., 203 pp.

2 Chavey, D., Straffin, P. (2010) The Analysis of Chokwe Sand Drawing Grids, to be submitted to

Mathematics Magazine. Draft available at

.

3 Chavey, D. (2010) Symmetry Designs of Chokwe Sand Drawings, to be submitted to J. of Math and Arts. Draft available at

.

4 Fontinha, Mário (1983) Desenhos Na Areia Dos Quiocos Do Nordeste De Angola, figures 68, 90, 191, 307, 330, 384. Lisbon, Portugal: Instituto de Investigaçäo Científica Tropical, 306 pp.

5 Gerdes, P. (1994) Sona Geometry Vol. 1, Maputo, Mozambique: Ethnomathematics Research Project Instituto Superior Pedagógico, 200 pp.

6 Gerdes, P. (1999) Geometry From Africa, Ch. 4 Washington D.C., USA: Mathematical Association of America, 210 pp.

7 Gerdes, P. (2006) Sona Geometry from Angola: Mathematics of an African Tradition, Milano, Italy: Polimetrica, 72 pp. 232 pp.

8 Gerdes, P. (2007) Drawings from Angola: Living Mathematics, p. 39, www.lulu.com, 72 pp. Originally published as Desenho da Africa (1990), Sao Paulo, Brazil, Editora Scipione.

9 Jablan, S. “Mirror Curves,”

, accessed July 25, 2009.

10 Kubik, Gerhard (2006) Tusona – Luchazi Ideographs: A Graphic Tradition of West-Central Africa, 2nd enlarged edition, p. 108-112, 133-135, 281. Piscataway, New Jersey, USA: Transaction Publishers, 368 pp.

11 Schlatter, Mark (2004) “Permutations in the Sand,” Mathematics Magazine 77(2), April 2004, pp. 140-145.

12 Darrah Chavey, CONSTRUCTING SYMMETRIC CHOKWE SAND DRAWINGS

青山不改，绿水长流，在下告退。

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