y=(x^2+sinx^2)^3的导数计算

y=(x^2+sinx^2)^3的导数计算

主要内容：

本文通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(x^2+sinx^2)^3的导数计算主要步骤。

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链式求导法则

y=(x^2+sinx^2)^3,则有：

dy/dx=3(x^2+sinx^2)^2*(x^2+sinx^2)',即：

dy/dx=3(x^2+sinx^2)^2*(2x+cosx^2*2*x).

则：dy/dx=3(x^2+sinx^2)^2*(2x+2x*cosx^2)。

取对数求导方法：

因为y=(x^2+sinx^2)^3,两边取自然对数有：

lny=3ln(x^2+sinx^2),再对方程两边同时对x求导，有：

y'/y=3(x^2+sinx^2)'/(x^2+sinx^2),

y'/y=3(2x+2x*cosx^2)/(x^2+sinx^2),

y'=3(x^2+sinx^2)^3*(2x+2x*cosx^2)/(x^2+sinx^2),

所以：y'=3(x^2+sinx^2)^2*(2x+2x*cosx^2)。

本题函数的复合

本题由函数y1=x^2(二次函数，也是幂函数和偶函数)，y3=siny1（三角函数，也为正弦函数）,y4=y1+y3（两个函数的和函数）,y=y4^3（幂函数）复合而成。

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知识拓展：

导数是函数的局部性质，一个函数在某一个点的导数描述了这个函数在这一点的变化率，其几何意义就是曲线上该点切线的斜率。

函数求导，实质上就是一个求极限的过程，导数的四则法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数，也可以反过来求原来的函数，此时即为不定积分。