导语

在物理学中，重整化群通过粗粒化将不同尺度的现象联系起来。12月6日，发表在 Physical Review Letters 上的一项最新研究提出了一种算法，采用最先进的机器学习结果估计互信息，将重整化过程中的粗粒化变换提升为形式算符，为研究统计力学系统提供了一个新范例。

研究领域：统计物理，重整化群，机器学习，互信息，涌现

梁金| 作者

邓一雪| 编辑

论文题目： Statistical Physics through the Lens of Real-Space Mutual Information 论文地址： https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.127.240603

按照还原论的精神，基本物理理论从最小尺度上描述组成这个世界的基本成分的相互作用。然而，实验上可观察的特征通常来自于从这些基本成分中涌现出的集体行为。这样的有效理论的例子包括经典的流体力学和热力学，它们用一些宏观变量描述复杂的现象，而不涉及单个的粒子。

跨越尺度的鸿沟，从微观模型中获得涌现的宏观特性，是一个长久挑战。重整化群（renormalization group，RG）为此提供了一个强大的框架，通过对局部自由度构型反复进行粗粒化，将不同尺度的物理理论联系起来。基于此的 RG 变换就像是模型空间中的望远镜，产生 RG 流（RG flow），其围绕不动点的结构最终揭示相关的局部自由度。它们是标度算符（scaling operator），决定大尺度下的关联，因而也决定了物理性质。

实际上，在实空间重整化群中进行这样的运算非常困难。我们可以通过如下方法提高这个过程的准确性：让粗粒化过程最优化以获得最大的实空间互信息（real-space mutual information，RSMI)，量化与系统中遥远部分的关联。然而，这仍然忽略了一个重点：任何长程信息都是由于标度算符，因此其最优压缩不仅可以作为更好的 RG 变换，而且应该允许提取所有算符本身，而无需显式地执行 RG 流。这一点最近得到了部分证明：在临界系统中，实空间互信息压缩问题的形式解由最相关算符决定，理论上可以直接获得。但是在一般情况下，解决这个数学问题是出了名的困难。

利用最先进的机器学习结果估计互信息，这项最新研究克服了这一挑战，开发了一种高效的算法从实空间构型中提取理论的相关算符。与标准方法相比，没有迭代 RG 映射：标度算符不是从 RG 流构造的，而是利用它们的定义作为实空间互信息的主要贡献，只需一步。实空间互信息神经估计器（RSMI neural estimator，RSMI-NE）返回参数化的神经网络，可以给它们分配标度并在计算中使用（图1）。此外，研究者在整个相图以及远离临界点的区域，证明了该方法的有效性。

图1. 用 RSMI-NE 提取最相关算符。(a) 学习到的最相关算符是相图中每个点上长程信息 I(H:E) 的最优压缩。可以通过计算关联函数和提取标度，将学习到的映射与物理算符关联。(b) RSMI-NE 的架构。相关算符由变换 Λ 提取。长程信息由 fΘ 估计，这些都由神经网络参数化，并一起训练。

特别是，该算法可以无监督地构造序参量、定位相变，并识别复杂高维实空间数据的空间关联性和对称性。这项研究将粗粒化变换提升为形式算符，为研究统计力学系统提供了一个新范例，并提供了一个数字工具箱来实现这一点。

在物理学中使用机器学习的一个常见批评是，机器学习的结果缺乏可解释性。尤其是我们并不清楚，机器学习的体系结构和训练相关的结论，在多大程度上与物理理论中的概念相关。RSMI-NE 克服了这一挑战：它的输出由格点上的标度算符显式识别。因此，与一般的数据驱动方法不同，RSMI-NE 使用机器学习工具来执行物理原理，产生理论上可解释的结果。

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