一、截长补短法原理
截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，在证明几条线段之间的数量关系时（比如证明线段的和、差、倍、分等类的题目），非常有用。通常截长补短作辅助线的方法，构造全等三角形，以证明线段之间存在某种数量关系。
截长法：要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等；
补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情形之一时用此种方法：
（1）a>b
（2）a±b = c
（3）a±b = c±d
初中数学
二、截长补短法例题详解
例1、已知，如图，在△ABC中，AB>AC,∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB-AC>PB-PC。
证明：在AB上截取AN = AC
∵∠1 = ∠2且AP = AP
∴△APC≌△APN
∴PN = PC
在△BPN中有BN > PB - PN
∴AB-AC>PB-PC得证。
本题也可用补短法，大家自己证一证。
例2、已知，在△ABC中，∠B=60º，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，求证：AC = AE+CD
证明：在AC上截取AF = AE
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD
AO=AO
∴△AEO≌△FAO
∴∠AOE=∠AFO
∵∠B=60º AD、CE是△ABC的角平分线
∴∠AOE=∠COD=∠ACO+∠CAO=60º
∴∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60º
又∠FCO=∠DCO CO=CO
∴△FCO≌△DCO
∴CD=CF
∵AC = AF+FC
∴AC = AE+CD
截长补短时，如果遇到一个角的邻边相等，可以通过旋转一个边（及其所在三角形）与另一边重合，然后构造全等三角形。
例3、问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN =(1/2)∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；
问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝(1/2)∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想， 并给予证明。
证明：问题1
旋转△ABM，使BA与BC边重合，M至点M＇处，
则∠ABM=∠CBM＇,BM=BM＇,AM=CM＇
∵∠MBN = (1/2)∠ABC
∴∠ABM+∠CBN=∠MBN
∴∠CBM＇+∠CBN=∠MBN
∵BM=BM＇,BN=BN
∴△NBM＇≌△NBM
∴NM＇= NM =NC+CM＇
∴MN =AM +CN
问题2、
∵∠ABC＋∠ADC＝180°
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
而∠DAB＋∠MAB＝180°
∴∠MAB =∠DCB
又AB＝BC 在CN上截取CE=MA
∴ △BCE≌△BAM
∴ BE = BM，∠CBE=∠ABM ∴ ∠ABC = MBE
又∠MBN＝(1/2)∠ABC ∴∠MBN = ∠EBN
∵BN = BN,BE = BM
∴△MBN = △EBN
∴NM = NE
而NE +EC = CN ，CE=MA
∴MN +AM = CN
例4、在△ ABC中,∠A=60º,D在∠A的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC
求证:当∠BDC=120º时BC=BE+CF
证明：延长FA至点M，使FM = BE,连接MD
∵D在∠A的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC
∴△BED≌△MFD ∴∠MDF =∠BDE BD=DM
∴∠BDM = ∠EDF =120º
∴∠MDC= 360º-120º-120º=120º
∴在△BDC和△MDC中BD=DM ，∠MDC = ∠BDC DC=DC
∴△BDC≌△MDC
∴BC=CM = FM+CF = BE+CF
练习1、已知，如图，AB//CD, ∠1 = ∠2，∠3= ∠4。求证：BC = AB+CD
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