"上帝的指纹" - 走进无限美妙的曼德博集合|初始值|复数|序列|曼德|阿德里安

什么是曼德博集合?

曼德博集合(Mandelbrot set)的定义归功于法国数学家阿德里安·杜阿迪，以分形几何先驱数学家本华·曼德博的名字所命名。

▲ 阿德里安·杜阿迪(左)，曼德博(右)

阿德里安·杜阿迪(左)，本华·曼德博(右)，图自维基

它由迭代产生，而迭代就是不断重复某个过程。在数学上，该过程往往是指计算某个数学函数，每一次对过程的重复被称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。

就曼德博集合而言，被迭代的是一种最简单的函数：二次多项式，其形如 f(x) = x² + c，其中参数 c 为常量。

迭代由初值开始，即 x₀=0 。将 x₀ 代入 x₀² + c 得到一个新的数值：x₁=x₀²+c

前次计算结果作为下次迭代的输入，即：

如此类推。迭代生成的数值序列 x₀,x₁,x₂,……，是由 x₀ 通过 x² + c 迭代而产生的一系列结果。

迭代函数理论源于现实问题。人口(种群)增长的建模就是个例子。种群的当前规模决定了一个繁殖周期之后的规模。因此，种群增长的数学模型可以用一个包含自变量 x 的函数进行描述。x 代表当前种群规模，f(x) 代表一个繁殖周期后的期望种群规模。要想算出多个繁殖周期后的种群规模，就需要迭代该函数。顺便提一句，标准种群增长模型中使用的迭代函数与本文即将讨论的二次多项式极为相似。由此，生活实践引发了人们对迭代理论的研究。

这引出了迭代理论涉及的重要问题之一：不同的参数 c 下，迭代序列的运动趋势如何？收敛还是发散？周期循环还是毫无规律可言？我们来对曼德博集合来做一个简单的探究。

一些示例

让我们动手算一下，先从一些例子开始。比如，把赋值常量 c = 1 开始观察。如果初值 x₀=0，则迭代序列如下：

可以看出，迭代过程中数值飞速增大，并趋于无穷。

另一个例子，如果设常量 c=0，初值 x=0 的迭代序列大不相同 — 迭代的值保持不变。

现在假设常量 c=-1，则序列有新的变化。初值 x=0 的迭代序列是：

可以看出，序列上的点值在 0 与 -1 之间波动。序列成为一个周期为 2 的循环。

要看清迭代序列的运动趋势，最好借助图形：序列时序图给出了其趋势的更多信息。下图分别展示了 x² + c 在 c=-1.1,-1.3,-1.38 和 -1.9 四种情况下的时间序列。图中均取初值 0，序列上的点用圆点表示，并通过线段将圆点相连。可以看出，序列运动趋势随常量 c 变化。当 c=-1.1 时，序列趋近于一个周期为 2 的循环。当 c=-1.3 时，序列趋向于一个周期为 4 的循环。当 c=-1.38 时，序列趋近于一个周期为 8 的循环。当 c=-1.9 时，序列已无明显规律。数学上称此现象为混沌。

▲图 1: 初值 0 通过 x²-1.1 迭代生成的序列。序列趋近于一个周期为 2 的循环。

▲图 2: 初值 0 通过 x²-1.3 迭代生成的序列。序列趋近于一个周期为 4 的循环

▲图 3: 初值 0 通过 x²-1.38 迭代生成的序列。序列趋近于一个周期为 8 的循环

▲图 4: 初值 0 通过 x²-1.9 迭代生成的序列。序列已无明显规律，呈混沌状

或者从下面动画观察常量 c 更多的变化过程，就可以看到更多的迭代结果序列图：从下面动画观察常量 c，就可以看到更多的迭代结果序列图：

c = -1.85 (呈混沌状)
c = -1.8 (接近一个周期为 3 的循环，周期内呈混沌状。亦称间歇现象)
c = -1.75 (趋近于一个周期为 3 的循环)
c = -1.6 (呈混沌状)
c = -0.65 (趋近于一个固定值)
c = 0.2 (趋近于一个固定值).

显而易见：当初始值 x₀=0 时，迭代函数 x²+c 的值要么越来越大，序列趋于无穷大，要么不趋于无穷大。当序列不趋于无穷大时，其有各式各样的运动趋势，它可以固定不变，可以周期循环，甚至杂乱无章。但是迭代序列基本上都遵循二分规律：要么趋于无穷大，要么有界。曼德博集合准确地描绘了这种二分现象，以独特的方式记录初始值为 0 时迭代函数 x² + c 的序列运动趋势：常量 c 被以图形的方式描述，并依据序列运动趋势赋予不同颜色。

走入复数的世界

事实上，常量 c 不仅可以是实数，也可以是复数。

当 x²+c 中的常量 c 取复数时，我们来看看迭代情况：设 c=i, 则 x₀=0 在 x²+i 下的迭代序列：

序列最终以 2 为周期进行循环。如果取 c=2i, 则序列大不相同，下面是结果：

序列在复平面内趋于无穷大（序列上的点离原点(0,0)越来越远）。再次得到相同的结论：当初始值 x₀=0 时，x²+c 的迭代序列要么趋于无穷大，要么有界。

曼德博集合的定义

曼德博集合引入了几何学的概念，其准确定义为：

曼德博集合由所有满足一定条件的（复数）c 组成的集合：复数 c 使得从初值 x=0 开始通过 x²+c 迭代产生的有界序列。

在数学之外，曼德博集合因其数学可视化和作为应用简单规则产生的复杂结构典型示例而变得更为大众熟悉，下图展示了曼德博集合迷人的复杂之美。

上图中黑色区域即为曼德博集合。曼德博集合关于 x 轴对称，它与 x 轴的交集位于区间 -2 到 1/4 之内。x 轴上的原点位于主心形内，-1 点位于主心形左侧的球形内。

通过之前的计算已经知道，c=0, -1, -1.1, -1.3, -1.38, 以及 i 均属于曼德博集合，但是 c = 1 和 c = 2i 却不属于此集。

▲曼德博集合的局部特写。“球形”与主心形直接相连。

曼德博集合的不同“球形”

至此，自然有人疑问：为何要关注 x²+c 从 0 开始的迭代序列？为何不从初值 i 或 2+3i 开始迭代？或是其他某个值开始？其实，取初始值 x₀=0 是有充分理由的，因为初值 0 的 x²+c 迭代序列极具代表性，包含了所有其他初值下的序列信息。了解更多信息，请关注下一篇文章《揭秘曼德博集合》。