新工科背景下的概率统计教材建设探索与实践|方差|概率论与数理统计|正态分布|贝叶斯

概率论与数理统计是理工类和经管类学生的一门重要基础课程, 是研究自然界及人类社会活动中大量随机现象统计规律性的一个数学分支, 是对随机现象进行定量分析的重要工具, 是一门应用性很强、很广泛的学科。近年来国家积极推进新工科建设, 相对于传统的工科人才, 新工科的建设需要培养实践能力强、创新能力强的新工科人才。作为一门重要的基础课, “概率论与数理统计” 在新工科人才培养中起到了重要的作用。

为顺应新工科建设的要求, 立足于新工科人才的培养, 成都信息工程大学概率统计教学团队，总结多年新工科建设背景下概率论与数理统计课程建设与教学实践的经验，反复打磨了这本《概率论与数理统计》（周钰谦，王凤琼主编，科学出版社），教材力求内容简洁紧凑、讲述由浅入深、条理清晰、理论与实际相结合。在讲述基本理论与基本方法的同时, 每一章最后一节专门设置案例分析, 将工程应用案例、人工智能应用案例、数学建模应用案例与理论知识有机融合, 增强了教材的针对性和实效性, 以求体现科学性、前沿性、时代性。

本书通过引入实际应用案例，希望帮助学生拓宽视野, 增强应用概率统计的思想方法解决实际问题的意识、能力和创新精神。

限于篇幅，下面截取几个简短的案例。

案例1

贝叶斯公式与吸毒者检测

贝叶斯公式在人们的日常生活中有广泛的应用, 下面是在检测吸毒者时的应用。假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为99％, 也就是说, 当被检者吸毒时, 每次检测呈阳性的概率为99％。而被检者不吸毒时, 每次检测呈阴性的概率为99％。从检测结果的概率来看, 检测结果是很准确的, 但是贝叶斯定理却可以揭示一个潜在的问题。

问题描述：假设某社区将对其所有居民进行一次吸毒情况的检测, 已知在此社区所有居民中有0.5％的吸毒者。我们想知道, 每位医学检测呈阳性的人吸毒的概率有多高？

解决方案：设事件A 表示吸毒, 则\bar{A}表示不吸毒, 事件B 表示检测呈阳性, 则\bar{B} 表示检测呈阴性, 有

现在, 我们可以计算某人检测呈阳性时确实吸毒的概率P(A|B), 由贝叶斯公式知

尽管我们的检测结果可靠性很高(当被检者吸毒时, 每次检测呈阳性的概率为99％。而被检者不吸毒时, 每次检测呈阴性的概率为99％), 但是也只能得出如下结论：如果某人检测呈阳性, 那么此人是吸毒者的概率只有大约33％, 也就是说此人不吸毒的可能性比较大。但如果让此人再重复检验一次, 相当于此时取P(A) = 0.3322, 此为吸毒者概率, 替换了最初的P(A) = 0.005。再次使用贝叶斯公式计算检测呈阳性时确实吸毒的概率P(A|B), 将会得到此人吸毒的概率约为98.01％。如果让此人再次复检, 使用贝叶斯公式计算, 会得到此人吸毒的概率约为

99.98％, 已经超过了检测的可靠度。

案例2

样本方差的应用

问题描述：某药厂有A, B 两条生产线可以为同一种冲剂进行包装, 在一天内, 分别从这两条生产线上抽取了25 包成品进行称重, 其数据如下表所示（请将手机横屏查看）：

根据抽样结果判断：哪一条生产线包装质量更稳定？

解决方案:A 线的样本方差为：0.0304; B 线的样本方差为：0.020767。显然B 线的样本方差更小, 包装质量更稳定。

案例3

强干扰背景下微弱信号的提取

问题描述：设s是已知的非确定信号, n是随机干扰信号, 通常可将其看作是服从正态分布N(0, σ^2) 的随机变量, 其中σ^2 代表干扰信号的平均功率，经过传输后, 在接收端收到的信号为X=n+s。如何从收到的信号中提取微弱信号s 呢?

解决方案：由于干扰信号n 的线性函数X=n+s 也服从正态分布, 且其服从N(s, σ^2)，其中s表示有用信号的电平。

假设每隔一段时间重复发送信号一次, 则可以收到一个信号序列

若假设每次发送信号时间间隔足够大, 可看成相互独立, 服从正态分布的随机变量, 将它们叠加起来, 令

Y 仍然服从正态分布N(ms,mσ^2)。式中ms 表示m 次叠加后的有用信号的电平, 而mσ^2 表示叠加后干扰的平均功率。则累加后的信号噪声比变为

这样随着m 的增大就可以提取出信号s 了。

以下利用MATLAB 数学软件对强干扰背景下微弱信号的提取进行了50000次的模拟。将下图(a) 中的原始信号s 与图(b) 所示的噪声进行叠加, 得到受干扰信号如图(c) 所示, 将叠加噪声n 的信号X 进行50000 次的叠加取平均, 得到图(d) 所示的曲线, 可观察到它非常近似于原始信号, 说明从这种强干扰背景下提取微弱信号的方法是可行的。

备注：本文节选自《概率论与数理统计》（周钰谦，王凤琼主编，科学出版社）

内容简介

本书主要内容包含随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。本书注重概率统计的工程应用背景知识，通过介绍知识点的背景、起源和相关科学家等内容，来激发学生的学习兴趣。

本书内容上一方面精简压缩一些传统知识点、淡化计算技巧，另一方面通过引入人工智能、大数据等相关应用案例，并融入数学建模的思想重新组织例题和习题。学习本书，学生可以拓宽视野, 初步了解一些人工智能的算法，增强应用概率统计的思想方法解决实际问题的意识、能力和创新精神。

适用对象

本书建议48课时，可作为高等学校理工科各专业概率论与数理统计课程的教材，也可作为工程技术人员和科技工作者的参考书。

前言

第1章随机事件及其概率

引言1

1.1随机事件2

1.2随机事件的概率5

1.3古典概率模型8