女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

民族数学（ethnomathematics）作为一个研究领域，大约始于1970年，尽管这个术语本身直到大约10年后才开始使用。它的基本原则是，数学思想是植根于文化背景中的文化表达。数学思想的产生或阐述并不遵循必要的或普遍的道路。强调的想法，它们的表达方式，以及它们的应用都会因文化的不同而有所不同。无论一种思想是在一种文化中产生的，还是由于与另一种文化的接触而受到刺激，它都会陷入该文化特有的思想复合体中。这一观点特别重要，因为长期以来，数学一直被视为文化无关或文化中立。

民族数学要求对数学思想进行定义，其范围要比与现代数学相关的数学思想更广泛。我们所说的现代数学是指由世界各地的专业数学家指定的、通过西式学校教育传播的类别。现代数学本身是许多文化中的人们的思想的汇合，通过翻译、媒体和标准化的表达方式而融合。然而，数学思想，无论他们是否为这股潮流提供养料，都是那些涉及数字、逻辑、空间配置的思想，更重要的是，将这些组织成系统和结构。为了充分理解这些思想，必须在其文化和思想背景下看待它们。

以互斥的语言社区为标准，在过去300年里存在的不同文化的数量在5000 - 6000之间。虽然今天有一些占主导地位的文化，但传统文化仍然存在，在某些情况下与占主导地位的文化混合，或在占主导地位的文化之内。此外，特别是在大小工业化的民族国家中，还有亚文化、部分文化和复合文化，它们形成了共同的思想和特殊的做事方式。要了解那些没有文字系统或传统已不复存在的文化中的数学思想，我们必须依靠从人工制品或他人观察报告中收集到的信息。即使这些想法是流行的，它们往往是隐含的，而不是明确的，因此必须通过对观察和对话的解释来获得。因此，数学思想在其文化背景下的研究经常与考古学、民族学、语言学、文化史和认知研究等领域相互作用或借鉴。

对一些人来说，民族数学的主要目标是拓宽数学史，使其具有全球性和人文性。对其他人来说，教学意义和用途是最重要的。

通过对平面图和空间/时间概念的讨论，民族数学的意义和观点将变得更加具体。

平面图

一笔画图形的数学思想在多种文化中都有体现。正如追踪的背景因文化而异一样，相关的几何学或拓扑学思想也是如此。

在现代数学中，一笔画的概念属于图论。从几何上讲，图论关注的是由直线(称为边)相互连接的点(称为顶点)的阵列。据说启发数学家欧拉创立图论的问题是：“对于一个图，能找到一条覆盖每条边一次且只有一次的连续路径吗？另外，如果有这样一条路，这条路能不能在起点结束呢？“。根据这个故事，欧拉居住的普鲁士哥尼斯堡有七座桥。镇民们想知道，在周日的散步中，他们是否可以从家里出发，每座桥只过一次，最后到家。在1736年的欧拉和130年后的希尔霍尔泽之间，找到了一个完整的答案。答案取决于顶点的阶数——顶点的阶数是从它发出的边数。首先，并不是所有的图都可以连续追踪到每条边一次且只有一次。如果图中有一对奇数度顶点，则存在这样一条路径，前提是您从其中一个顶点开始，在另一个顶点结束。此外，如果所有顶点的度数都是偶数，则可以跟踪从任何位置开始到结束的路径。当一个图有一个以上的奇数度顶点对时，不可能有这样的路径。

生活在大洋洲现在的瓦努阿图共和国的马勒库拉人也很关心同样的问题。然而，在那里，问题是如何前往亡灵之国。根据马勒库拉人的说法，当一个人死后，为了去亡灵之地，他的鬼魂必须经过一个像蜘蛛一样的食人魔，食人魔挑战他在沙地上描绘一个图形。他必须在不抬手指或不走回头路的情况下画出整个图形，如果可能的话，在他开始的地方结束。如果他不能接受挑战，他就不能进入亡灵国度。

从民族志文献中，可以了解到马勒库拉人使用的大约100个图形和确切的追踪路径。对追踪路线的分析证实了马勒库拉人对问题的关注，以及他们对问题的规定和解决方案的坚持。然而，除此之外，追踪课程还证明了他们使用了涉及一般系统的系统化程序，这些系统超越了单个图形，延伸到了图形组。这些扩展系统有三、四个，这里简要介绍其中一个。

对于组中的每个图形，都有一个初始程序，即一些有序的运动序列(称为A)。紧随其后的是由形式转换修改的相同过程。调用转换后的过程AT。对于这组图形，只使用一组特定的变换：旋转90°、180°、270°；水平反射；垂直反射；每个单独或与反转结合使用。倒置是程序顺序的颠倒。图1示出了一个图及其初始过程A。

以A来说，这个图形可以简明扼要地描述为AA90 A180 A270。

图1 马勒库拉沙地一笔画。上图：A；下图：AA90 A180 A270。

该图体现了马勒库拉人对对称性的兴趣，结合了图论约束和形式化、系统化的追踪过程。

对马勒库拉沙地追踪传统中所蕴含的数学思想的研究，导致了对这一智力成果的欣赏。然而，全球数学史也得到了丰富。一笔画问题被认为是在不同的人类环境中出现的问题，它对相当多的人产生了兴趣和挑战。因此，它被用于现代数学的教学中，以建立一个更具包容性和人文性的数学观。

另一个完全不同的沙地一笔画是在现在的非洲安哥拉/扎伊尔地区的绍奎人中发现的。在这个传统中，首先构建一个长方形的点阵。然后，一个熟练的说书人通过在点的周围画一个连续的图形来吸引他的听众，因为与该图形有关的故事出现了。一些故事强调了一个拓扑学事实，即由此产生的图形定义了一些区域，其中某些点与其他点是隔离的。

例如，在图2中，点1和点2代表丈夫和妻子；其他点是他们的邻居。丈夫建造了障碍物，使他的妻子远离邻居，这样她就会去做家务而不是去拜访。在过去的50年里，人们收集了大量这些图形及其故事。这些收藏品内容丰富，形式多样。例如，有几组人物具有形状的一般特征，但在结构参数上有所不同。例如，比较图3a，b。

图2 绍奎人沙画示例。

图3 绍奎人沙画。(A)顶部；(B)底部。

同样，对这一传统的探索提高了我们的鉴赏力，丰富了全球的数学史。然而，此外，现在有了几个一笔画图形的例子，我们看到一个特定的数学思想可以通过与不同种类的数学思想的结合而导致不同的阐述。

空间/时间的概念

所有的文化都通过物理和精神上的秩序来定义时间和周围的空间。由于这些秩序在如何感知和解释经验方面起着如此重要的作用，因此很难理解其他人对它们的定义可能有所不同。西方的时间和空间概念是现代数学的一个亲密组成部分。我们简要介绍另一种观点，即北美纳瓦霍人的观点，特别强调与西方观点的对比点。

在西方文化中，直到19世纪末，欧几里德几何被认为描述了关于物理世界的真理。欧几里德几何的基础是点、线、曲面和实体，并相信它们可以用来将空间分成几个部分。例如，一条线可以被一点分成两部分，或者一个曲面可以被线分成几部分。还假设空间有三个维度，它没有间隙(连续)，它向所有方向延伸，没有界限(无限)，它具有零曲率，如果某物位于一个位置而不是另一个位置(均匀)，则大小和形状都不会改变。在17世纪末，特别是由于艾萨克·牛顿的工作，三个空间维度作为第四个维度随着时间的推移而扩大。然而，这个时间维度与空间维度是不同的。也就是说，空间中的构型可能会随着时间的推移而改变，但空间属性是绝对的，不受时间的影响。数学家现在明白，欧几里得几何是一种心理构造，在其他假设下，还有其他几何。此外，对于物理宇宙来说，时间和空间已经因为爱因斯坦的相对论和宇宙学理论而变得相互关联，宇宙学理论认为，自从宇宙作为一个点开始以来，空间本身就一直在经历膨胀。尽管如此，欧几里得模型(具有扩展的时间维度)仍然支撑着现代数学和科学中包含的世界观。

对纳瓦霍人来说，空间和时间是如此密不可分地交织在一起，以至于讨论一个问题时不能离开另一个。他们认为宇宙是动态的，是由过程而不是物体和情况组成的。他们不把事物概念化为由明显可区分的静态部分组成的整体。例如，我们把身体看作是一个物理单位，它有不同的部分，有特定的位置和特定的边界。对我们来说，胳膊、腿、牙齿和眼睛是身体的一部分，但血压则不是。另一方面，对纳瓦霍人来说，身体是一个动态的整体，也就是说，是一个由相互关联的部分组成的系统。成为身体的一部分意味着参与使身体运作。那么，血压没有一个静态的具体位置，就像手臂或腿一样是身体的一部分。

当然，对于纳瓦霍人来说，特定的位置和空间边界确实存在。然而，当我们把一个位置看作是某物所在的地方时，纳瓦霍人从过程的角度来看待它——一个物体由于运动的撤回而处于特定位置的过程中。空间边界也有动态的组成部分：一些中断动作，但是一旦越过边界，该动作可以继续；其他人要求修改操作。

另一个对比是对两个重叠表面的描述。我们认为表面有一个共同的区域是很重要的。因为我们的焦点是作为一组空间点的区域，所以我们可以不考虑时间或运动来描述该区域。纳瓦霍人认为重叠是一个积极的、持续的过程的一部分。最重要的是相同或不同的元素是否接触，从而定义了区域。例如，如果重叠的表面是一条蛇和一块岩石，如果蛇在岩石上睡觉，或者蛇在岩石上滑行，重叠的表面在种类上是不同的。

与关注事物的时间和地点不同，纳瓦霍人关注的是它的运动——它是来了还是走了，是变快了还是变慢了，是有目的的还是无目的的运动。距离，也是以相对于标记的运动来概念化的。

在纳瓦霍人的世界观中，空间是连续的，有三个维度，而且是有限的，因为宇宙在向外扩张，但最终会坍缩回到起点。然而，最重要的是，相互关联性和运动是永远存在的，它包含和归纳了空间和时间。

世界观的差异对解决问题的方法以及问题的内容都有影响。分析法是数学及其教学的基础。问题被分解成不同的部分，相信解决方案是各部分的解决方案的总和。此外，数学问题解决的步骤是将过程叠加在被视为静态的实体和固定的关系上，认为这些过程对实体或关系没有影响。相比之下，纳瓦霍族的问题解决是整体性的，注重问题的动态相互关系。

20世纪上半叶的民族学家和语言学家讨论了纳瓦霍族的文化和世界观。然而，直到最近，研究才集中于他们的数学思想和他们的世界观对学校数学学习的影响（Moore 1993；Pinxten 1983）。从这些研究中，我们了解到数学思想在文化中的根基有多深。民族数学观点将数学思想视为文化产品，它提供了一个扩大的框架，在这个框架内可以有不止一种世界观，使基本假设的对比更加清晰，并能作出不同的贡献。

民族数学的努力吸引了来自世界许多地方的研究人员和教育工作者。例如，Claudia Zaslavsky关于非洲数学思想和实践的开创性著作激发了许多非洲学者的进一步研究。非洲数学联盟的非洲数学史委员会正在出版一份通讯，介绍他们的工作情况。

▶http://www.math.buffalo.edu/mad/AMU/amuchma_online.html.

在莫桑比克，数学教育家Paulus Gerdes广泛使用了前面讨论的绍奎图形，将其作为向学生介绍各种数值、拓扑和算法思想的基础。他利用这些思想和其他思想与土著传统的联系(Gerdes 1993,1999)来强调这样一个前提，即图形不是外部主导文化的专属产品或领域。更多以人类学为基础的研究继续扩大全球数学史和数学思想。例如，Ascher (1991, 2002)， Washburn and Crowe(1988)和Frank(1992, 1999)。语言、认知和数学思想之间的密切关系仍在继续探索。巴顿和弗兰克(2001)对此进行了深入的概述和讨论。

国际民族数学研究小组是那些主要关注民族数学的教学意义的人的协调中心。它有一个庞大的国际成员，主要由在非西方环境下教学的小学数学教育者组成。本组织及其成员的活动和项目报告可以在他们的通讯中找到，这些通讯可以通过他们的网站▶http://www.rpi.edu/eglash/isgem.htm。

参考文献

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2 D’Ambrosio, Ubiratan. Ethnomathematics: a Research Program in the History of Ideas and in Cognition. International Study Group on Ethnomathematics Newsletter 8.2 (1988): 5–8.

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4 Frank, Rosyln M. and Jon D. Patrick. The Geometry of Pastoral Stone Octagons: The Basque Sarobe. Archaeoastronomy in the 1990’s: Papers Derived from the Third “Oxford” International Symposium on Archaeoastronomy, St. Andrews, UK, September 1990. Ed. Clive L. N. Ruggles. Loughborough: Group D Publications, 1993. 77–91.

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Keitel, Christine, Peter Damerow, Alan Bishop, and Paulus Gerdes. Mathematics, Education and Society. Paris: UNESCO, 1989.

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10 Washburn, Dorothy K. and Donald W. Crowe. Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. Seattle: University of Washington Press, 1988.

11 Zaslavsky, Claudia. Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1973. Twenty-Fifth Anniversary. 3rd ed. Chicago: Lawrence Hill Books, 1999.

12 MARCIA ASCHER, Ethnomathematics.

青山不改，绿水长流，在下告退。

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