大家好！本文和大家分享一道2005年高考数学真题。这是2005年高考全国II卷理科数学的压轴题，当年使用该套试卷的地区有黑龙江、吉林、广西、新疆和内蒙古。这道题考查了导数的计算、导数与函数最值、导数与函数单调性等知识，不过现在高三学生却直言这题很简单。

先看第一小问：求f(x)的最小值。

函数的最值是函数的一个重要考点，求解复杂函数的最值通常是通过导数判断出函数的单调性，进而求出其最值。

本题中的f(x)是一个复杂函数，可以看成是函数y=x^2-2ax与函数y=e^x的乘积的形式，而两个函数的积的导数的求导法则是：f(x)=g(x)·h(x)，则f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)。

根据求导法则，可以得到f'(x)=(2x-2a)e^x+(x^2-2ax)e^x=[x^2-2(a-1)x-2a]e^x。令f'(x)=0，由于e^x≠0，所以有x^2-2(a-1)x-2a=0。

判别式△=4(a-1)^2+8a=4(a^2+1)＞0，则可以求出上面方程的两个根x1和x2，然后再列出x、f'(x)和f(x)的表格，从而判断出f(x)取极值的情况。从表格可以看出，f(x)的极小值为f(x2)。

如果是在闭区间内求最值，那么最值肯定就在极值与端点处。在开区间内求最值，如果最值存在，那么一般来说就是在极值处取得，但是还是需要用过程来证明能取得最值。

比如本题中，当x趋于负无穷时，f(x)的极限为0，当x趋于正无穷时，f(x)也趋于正无穷，而极小值f(x2)却小于零，所以f(x)的最小值就是f(x2)，即当x=a-1+√(a^2+1)时，f(x)取得最小值。

再看第二小问：求参数的取值范围。

f(x)在[-1,1]是单调函数就等价于：f'(x)在[-1,1]恒大于等于零或者恒小于等于零，即f'(x)≥0或f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立。

由于f'(x)=[x^2-2(a-1)x-2a]e^x且e^x＞0，所以f'(x)的符号与函数g(x)=x^2-2(a-1)x-2a一致，所以接下来只需要研究g(x)在[-1,1]上符号即可，实际上也就是研究二次函数中“动轴定区间”的最值问题。

如果g(x)≥0在[-1,1]上恒成立，那么也就是说g(x)在[-1,1]上的最小值都要大于等于零；而如果g(x)≤0在[-1,1]恒成立，即g(x)在[-1,1]上的最大值都要小于等于零，从而求出a的取值范围。

这道压轴题的难度不算大，对于现在学习中上的高三学生来说确实比较简单。你学会了吗？