笛卡尔花边画|双射|坐标轴|笛卡尔|菱形|轴上

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文探索新的数学灵感绘画系列的起源。基于笛卡尔坐标系上的点集之间的映射，并将多个元素组合在一幅画中，就可以创建具有花边般质量的手绘图案和镶嵌。这项工作在网络图等技术制图技术和花边制作等手工传统之间建立了联系。

这种新型绘画的发展过程始于笛卡尔坐标系的二维平面的轴。我在限定象限I的两个轴上绘制了前几组点。然后，我继续使用双射映射将x轴上的一个点映射到y轴上的一个点，绘制一条线段来连接这些点。“如果存在双射函数，那么我们说A和B是一一对应的[1]”。

在所示的示例(图1)中，我选择在每个轴上使用编号为1-8的8个点。然后，我将点n从x轴映射到y轴上的点9−。(1，0)连接到(0，8)、(2，0)到(0，7)、(3.0)到(0，6)等。在4个象限中继续类似的双射映射过程，这产生了图2中的图形。这些初始图案让人想起20世纪70年代流行的连线艺术，它只使用直线来产生曲线。

图1:象限I中的双射映射

图2:4个象限中的映射

通过复制和旋转x和y轴45度，并在这两个新的轴上重复设计，就会创造出空间的幻觉，将一个三维图像投影到一个二维平面上(图3)。这个八角星成了构建块。把它们放入一个网格结构中，以便它们平铺或镶嵌平面(图4)。

图3：4个轴上的映射

图4：八角星的镶嵌

每个单独的构建块都具有8阶旋转对称性。当构建块被放置在图4中的列中时，每一个后续的列都被垂直移动了半个单元，一个p4m组的壁纸图案就出现了。

然后，我通过将每个轴上的一个点与另一个轴上的多个点连接起来，开始探索非双射映射的使用。在下一个例子中(图5)，在每个轴上，离中心最远的点被映射到两个相邻轴上的8个点中的每一个。我觉得这造成了一种错觉，好像画是从平面出来的。

图5：非双射映射

一旦我有了两个不同的花边图案，我就可以开始在同一组轴上绘制这两个图案了(图6)。

图6：双射和非双射映射

图7是一个完整的绘图，“八边形花边”，图层两种映射模式。通过重叠八角形结构，图纸成为一个平面填充瓷砖的基础。不可能只使用正八边形来创建一个不重叠的平面填充镶嵌图案。如果我们把两个八角形图案重叠的区域看作独立的镶嵌块，这张图就变成了一个由四边形、梯形和菱形组成的周期性瓷砖。菱形的顶点为45度和135度，而梯形的顶点为45度、135度、62.5度和117.5度。8个梯形和4个菱形的结构具有4重旋转对称。