约瑟夫森效应与超导量子电路的基本物理原理

摘 要

超导电路器件是为数不多的具有量子化能级、叠加态和纠缠等量子特性的宏观器件。这种具有宏观量子特性的器件为实现超导量子计算与组建超导量子计算机打下了硬件基础，2019年谷歌和2021年我国中国科技大学相继实现“量子霸权(Quantum supremacy)”极大地增加了人们在近期构建超导量子计算机的信心。了解超导量子计算有利于增加对物理学前沿发展方向的把握，对非物理专业的理工科背景读者开阔思路也有一定的好处。不同于经典的超导物理教材力图全面的特点，本文根据超导量子计算物理特征和理解超导量子计算的知识背景要求介绍超导量子电路的核心物理原理，力图化简计算推导难度，突出物理图景，以期对超导量子计算建立一个原理层面上的简洁物理图像。

关键词约瑟夫森效应；宏观量子效应；超导量子计算；超导量子电路

AbstractSuperconducting circuit devices are one of the few macro devices with quantum properties such as quantized energy level, superposition state and entanglement. This device with macro quantum characteristics has laid a hardware foundation for the realization of superconducting quantum computing and the establishment of superconducting quantum computer. Google and University of Science and Technology of China successively realized “Quantum supremacy” in 2019 and 2021 respectively, which greatly increased peoples confidence in the construction of superconducting quantum computer in the near future. Understanding superconducting quantum computing is helpful to grasp the frontier development direction of physics and broaden the thinking of readers with science and engineering background of non physics majors. Different from the comprehensive characteristics of the classical superconducting physics textbooks, according to the physical characteristics of superconducting quantum computing and the knowledge background requirements of understanding superconducting quantum computing, this paper introduces the core physical principles of superconducting quantum circuits, tries to simplify the calculation and derivation difficulty and highlight the physical picture, in order to establish a concise physical picture on the principle level of superconducting quantum computing.

2019年谷歌宣布实现“量子霸权(Quantum supremacy)”清晰地展现了超导量子计算对经典计算机的绝对优势[1]，这使人们意识到超导量子计算不但开辟了基础科学的一个前沿领域而且其在量子计算方面拥有巨大的潜力，2020年我国将量子计算上升为国家战略层面的重大科研课题并在“十四五”期间积极布局北京、合肥等研究中心。

超导量子计算的基本单元是超导量子电路（超导量子比特），超导量子电路的核心部分是约瑟夫森结。约瑟夫森效应使超导量子电路具有宏观可观测的量子特性，且超导电路与自然原子不同，超导电路的特征频率以及其他参数可以根据我们的需要来设计和构造；另一方面这种宏观的量子特性使超导量子电路的状态可以方便地通过外部设备控制。这些因素就使应用超导量子电路进行量子计算（超导量子计算）成为可能。由于超导量子电路具有良好的集成性与可拓展性且其制备、测量技术与目前成熟的半导体工艺、微波技术有良好的兼容性，以超导量子电路为基础的超导量子计算被普遍认为是最有希望实现普适量子计算的方案之一[2]。

本文作为“物理前沿介绍——超导量子计算”系列的第一篇，主要根据超导量子计算物理特征和理解超导量子计算的知识背景要求，介绍与超导量子计算相关的约瑟夫森效应、约瑟夫森结的特性以及超导量子电路的基本原理，并给出与理论对应的实验结果实例。不同于经典的超导物理教材[3]力图全面的特点，本文面向对超导量子计算感兴趣的读者，对构建一个简洁、清晰的超导量子计算物理图像有一定的好处。

1 约瑟夫森效应

英国物理学家约瑟夫森在1962年到1965年期间研究了两块夹有低势垒的弱耦合超导体系统（约瑟夫森结）。在物理上我们可以将上述约瑟夫森研究的系统看成超导体——薄绝缘介质层——超导体组成的三明治结构，在实验中这种约瑟夫森结的绝缘层典型厚度为1.5~3nm。约瑟夫森进一步从理论上进行了系统的研究和推导，得到了约瑟夫森方程组[3-5]

其中j为约瑟夫森结超导电流密度，jc为约瑟夫森结最大超导电流密度，φ为势垒两侧的超导体波函数相位差，U为结两端的电压，d为外磁场在势垒区附近的有效穿透深度，为约瑟夫森结中电磁波的波速，λJ为约瑟夫森结穿透深度。这里请注意超导电流密度、超导体波函数等物理量是空间坐标的函数，在超导量子计算的系统中由于我们一般关心和测量的位置是固定的，因此本文讨论并未表示出这些量与空间坐标的函数关系。

约瑟夫森结存在着称为约瑟夫森效应的下述特殊物理现象[6]：

(1) 由于超导体之间的势垒较低，超导电子对有很大概率发生隧穿形成隧穿电流从而在约瑟夫森结两端电压为零的时候也存在一个超导电流。

(2) 在约瑟夫森结两端加一个直流电压U0的时候，仍然存在隧穿电流，但是此时的隧穿电流为交变电流。

(3) 可以通过微波对约瑟夫森结内的超导电流起调制作用，这种调制作用可以表现为I-U曲线上的一系列“台阶”。

约瑟夫森提出上述理论后，很快ANDERSON P W、LOWELL、LANGENBERG、SHAPIRO等就从实验上观测到了上述的现象[7-10]，从而验证了约瑟夫森方程的正确性。

约瑟夫森方程的严格理论推导需要用到过程较为繁复的BCS理论与量子统计中的格林函数法[5,6]。为了建立一个简洁而突出物理的图像，本文采用另一种推导方法推导对超导量子电路物理原理理解起关键作用的约瑟夫森第一方程（1式）与约瑟夫森第二方程（2式）并对上述3个现象的产生原因做物理讨论。约瑟夫森结最突出的特征就是薄绝缘层，因此如何表示这个薄绝缘层形成的超导体弱连接是一个关键问题。

首先，如果两部分超导体完全独立，以ρ1、ρ2分别表示两部分超导体的库伯对数密度，则可分别用表示两超导体的波函数，进而可给出两个独立超导体的薛定谔方程

其中μ1与μ2分别为两超导体的库伯对能，取薄绝缘层中心为电势零点可以得到：μ2－μ1=2eU。

进一步考虑，如果两部分超导体存在耦合，那么每一部分的超导体将与另外一部分超导体相互影响，约瑟夫森假设此时体系的哈密顿量可以表示为H=H1+H2+HT，其中H1,H2分别表示两个超导体的哈密顿量，HT为弱耦合的哈密顿量，由于是弱耦合可以用微扰法来处理这一项[6]。这里也从微扰的思想来处理弱耦合，引入一个表示耦合强度的能量系数η，从而只考虑线性耦合项将有弱耦合的两部分超导体薛定谔方程表示为

将上述两个波函数代入式（5），对应两式的实部与虚部可以得到

其中 表示绝缘层两端超导体波函数的相位差。这样一来，式（6）告诉我们一侧超导体中的库伯对数密度的减少量等于另外一侧的库伯对数密度的增加量，即 。 这种库伯对的“流动”就会使结上出现不为零的超导电流密度。 结上的超导电流密度为

若令就得到了式（1）：j=jcsinφ。

如果取两部分超导体为相同材料（这一点在实验上可以很好地实现），可以认为ρ1=ρ2。接下来由式（7）可以得到

上面的推导过程可以清晰地解释现象1，这种现象也被称为直流约瑟夫森效应，且在实验上由于φ可以利用外磁场调制，其从0变为π/2时j可以对应的从0变化到最大值jc，这也为我们从实验上研究约瑟夫森结的特性提供了理论支撑。

如果在约瑟夫森结上加上一个直流电压U0，根据式（2）可以得到

φ0可由初始条件确定。再考虑式（1），将相位差代入其中就会得到

很显然，此时的超导电流为交流电流，其周期为 ，这种现象也被 称为交流约瑟夫森效应。

对于现象3，我们可以将微波效果以一个随时间变化的电压U(t)=U0+νcos(ωt)，ν/U0≪1表示，即在直流偏置电压U0的基础上再叠加一个小振幅的交变电流[6]。与讨论现象2类似，将U(t)代入式（2）有

将相位差代入式（1）即可得到该情况下的超导电流密度

由于我们已经假设ν/U0≪1，可以使用数学公式

对电流密度进行近似，得到

可以看到，该式在=0,±1,±2,…的时候会在I-U出现一个个等间距的直流台阶。由于Shapiro首选在实验上观测到了这种现象，因此也称这种台阶为Shapiro台阶[10]。

2 约瑟夫森宏观量子效应

超导量子计算的基础是超导电路的宏观量子特性。在一个实际的物理系统中，根据 Ehrenfest 定理，想要观察到电路的量子效应并加以利用就需要在电路中引入一个非线性的元件，如果考虑对式（1）两边同时求对时间的一阶导数，并考虑式（2）不难得到

进一步由电感的定义式可以有

其中Φ0=h/2e≈2.07×10－15Tm2为磁通量子，S为约瑟夫森结面积，从式（8）可以清楚地看到约瑟夫森结具有非线性的电感，故可将其视为一个非线性的振子，由于约瑟夫森结的三明治结构其还存在一个自身的等效电容C，因此其振动频率为

其中I=jS，Ic=jcS。不难看到，约瑟夫森结具有非线性特征，也就是说含有约瑟夫森结的电路可以表现出宏观的量子性。

具体来说，在实际电路系统中，一个约瑟夫森结在一般的工作状态下其中与超导遂穿电流并存的还有直流电流，因此必须考虑约瑟夫森结存在的直流电阻[11]。综上考虑，约瑟夫森结可以等效为与电阻、电容并联的理想结，这种模型被称为RCSJ模型[11]（Restively and Capacitively Shunted Junction Model）。

为了突出物理情景将RCSJ模型（如图2所示）中通过结的总偏置电流重新写为

其中结电流为

的非线性振动方程相同，因此可以类比经典力学的振动方程将上式看作质量为m=(Φ 0 /2π) 2 C的等效粒子在 的势阱（如图3所示）里的动力学方程。同时由于RCSJ模型与电路的紧密联系，将其放到电路中并利用电路仿真软件进行研究也可以帮助理解约瑟夫森结 [12] 。

根据上述讨论可以发现如果在实验中控制电流I即可控势阱的高度。当I/Ic≥1时势阱消失，此时准粒子将顺势而下。根据式（2），这时约瑟夫森结两端存在电压，而在I/Ic<1时存在势阱且准粒子处于势阱中，约瑟夫森结两端就不存在电压，如果从零开始将I增大到Ic则准粒子将留于某一个势阱中以本征频率振荡[13]，而实验上的极低温环境可以保证准粒子的热力学涨落极小。这样一来，通过实验监测电势差变化就可以探测的微观的量子特性，也就是说宏观的超导电路可以间接表现出可观测的微观量子特性，从另一个角度来说上述现象是大量库伯对的集体活动，综上原因可以称这为宏观变量的量子现象。

通过上面的讨论可以看到以约瑟夫森结为核心部件的超导电路，在毫开量级的超导工作温度下，可利用宏观量子效应由门电压或微波脉冲进行操控，如果能选取满足要求的量子态作为|0〉，|1〉态对应经典计算机的“0”，“1”便可组成超导量子比特。

为了突出物理图景减少计算，本节对于约瑟夫森结的讨论没有进行量子化给出哈密顿量。当然，对于具体的超导量子比特设计还是有必要将其电路进行量子化得到哈密顿量的，具体的方法可以参见本系列的第二篇文章[14]。

另外一个有趣的点是，较小的约瑟夫森结（S≪λJ）中的结电流还可以表现出宏观的量子衍射现象。从约瑟夫森方程的式（3）、式（4）出发可以得到外磁场中约瑟夫森结电流的最大值Imax(H)与无外磁场之间的关系为[3]

其中该式与光学中的夫琅禾费衍射公式类似，从物理上来看夫琅禾费衍射的本质是光源的相干性，而约瑟夫森结中不同位置电流也存在波函数相位相干性，再加之由于宏观上可以通过测量电流与磁场强度观察到上述现象（实验上的一个实例如图4所示），因此称该现象为宏观量子衍射现象。

约瑟夫森结其他的一些有趣的现象，例如恒流源下I-U曲线的回滞、I-U曲线的微波调制台阶等由于篇幅所限和本文主旨的关系这里就不展开了，有兴趣的读者可以参看相关文献[3]。此外，约瑟夫森结的另一个重要的应用是超导量子干涉仪（SQUID），这将在本系列的后续文章中做介绍。

3 结语

超导量子计算基于以约瑟夫森结为核心的超导量子电路和量子器件，相比于其他形式的量子计算方案，具有损耗低，量子态的制备、调控和读取灵活，以及与现有技术兼容等诸多优点，目前被认为是最有可能实现全固态量子计算的方案之一。作为国家战略层面的前沿科学，量子计算在可以预见的将来会在我们的生产生活中扮演越来越重要的角色，我国在超导量子计算领域也已经取得了一系列成果[16-20]。了解超导量子计算的物理原理对理解和把握物理前沿有一定的好处。因此，作为“物理前沿介绍——超导量子计算”系列的第一篇本文对超导量子计算的基本物理原理做了详细讨论，推导了约瑟夫森方程的两个主要方程，紧密结合理论过程讨论了约瑟夫森效应的物理图景、介绍了约瑟夫森宏观量子效应。以期帮助高年级本科生、大学物理教师以及理工科背景对超导量子计算感兴趣的读者对超导量子计算形成一个较为简洁、清晰的物理图像。

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通讯作者: 宿非凡，男，中国科学院物理研究所北京凝聚态物理国家研究中心副研究员，研究方向超导量子计算、量子理论、微纳加工。

引文格式:宿非凡，杨钊华. 约瑟夫森效应与超导量子电路的基本物理原理[J]. 物理与工程，2021，31（5）：28-33.

Cite this article: SU F F, YANG Z H. Josephson effect and the basic physical principles of superconducting quantum circuits[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（5）：28-33. (in Chinese)

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