一、题目

如图，已知在RT△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，将正方形ADEF如图所示放置，点E恰好落在AB上，连接BF、CD，M是BF的中点，连接AM交CD于点N.试判断CD与AM之间的关系，并说明理由.

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二、分析

线段间的关系分两种：数量关系与位置关系，容易猜测CD与AM的数量关系为：CD=2AM或AM=1/2CD，位置关系为：AM⊥CD.

AM与CD的数量关系不易直接证明，需添加辅助线，有两种思考方向：①截长补短证全等；②构造手拉手模型转化线段.

这里只介绍第②种方法.之所以会想到手拉手模型，是因为△CAB和△FAD都是等腰直角三角形，但又有所不同，因为点C是△CAB的右手，点B是△FAD的左手，不符合手拉手模型的“左手拉左手，右手拉右手”，这种情况可称之为“反向手拉手”，处理方法为作对称转化为手拉手模型，然后按手拉手模型求解.

三、解答

AM=1/2CD，AM⊥CD.理由如下：

以AD为边在AD下方作正方形ADE'F'，连接BF'

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①加减公共角证△CAD≌△BAF'

∵四边形ADE'F'为正方形

∴∠DAF'=90°=∠CAB，AD=AF'

∴∠DAF'+∠DAB=∠CAB+∠DAB

即∠BAF'=∠CAD

又∵AC=AB

∴△CAD≌△BAF'(SAS)

∴CD=BF'

②中位线证AM=1/2BF'

∵AF=AF'，FM=MB

∴AM//BF'，AM=1/2BF'=1/2CD

③8字模型证夹角

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∵△CAD≌△BAF'

∴∠1=∠2

又∵∠3=∠4

∴∠OAF'=∠OGD=90°

又∵AM//BF'

∴∠AND=90°

∴AM⊥CD