女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
使用线性对称群创建的图案的例子可以在所有形式的装饰艺术中找到。在源自最古老时代的人工制品和结构中，人们可以看到装饰陶器、珠宝、挂毯、地毯、坟墓、墙壁、窗户和建筑物的线性图案。今天，走在任何城市的街道上，看看门口、窗户、人行道和墙壁，你会发现线性图案比比皆是。线性图案可以为任何类型的表面设计形成令人兴奋的边界，并且理解如何创建图案是容易的。
标准符号
标记线性对称群的标准符号类似于二维对称群的符号，但是在这种符号中没有单元的符号。每个对称组的标签由两个符号组成，这两个符号表示不能对一个单元执行两次以上的操作来生成线性对称。有时只完成一个操作，如果是这样，则有1表示没有变化。正如在二维对称中，m代表镜面，g代表滑移，2表示180°旋转。如果在第一个位置有一个m，这意味着在对称中有一个垂直镜像。第二个位置的m表示对称中有一个水平镜像。
一旦你了解了17个二维对称群以及如何布局，就一点都不难了。它们只有七个，并且遵循完全相同的运动——平移、旋转、滑移和镜像。因此，这一章将不详细说明展示对称性所需的具体动作。
初级单元
说明前11个对称群的相同单元也用于线性对称图案。同样，首先从一个或多个基本单元创建一个拼块，并且该拼块重复以形成图案。但是现在拼块不是完全填满表面，而是只在一个方向上重复。
在17个二维对称群中，根据单元的哪一侧被旋转、镜像等，从一个给定的对称常常可以产生一个以上的图案。线性组也是如此。虽然只有七个线性对称群，但我已经发现了24种不同的图案，它们可以由一个正方形单元产生。
7种线性对称群
1.平移线性对称(11，或p1)
在平移线性对称中，主要单元是拼块，并且单个拼块将创建两个不同的图案。如图所示，当单元水平平移时出现一种图案，当单元垂直平移时出现另一种图案。插图5.2到5.4也是平移线性对称的例子。
图5.1使用平移创建图案(11)线性对称
图5.2 .显示平移(11)线性对称示例的织物设计。
图5.3 平面设计展示平移(11)线性对称的例子。
2.中点旋转或半圈线性对称(12，或P2)
中点旋转对称组中出现两种不同的线性图案，这取决于单元的一侧是旋转还是顶部或底部旋转，如图5.5所示。两个单元组成了平铺，一个单元与另一个单元旋转了180°。
图5.5 中点旋转或半圈线性(12)对称。
图5.6至5.8显示了中点旋转(12)线性对称。
图5.6 显示中点旋转(12)线性对称示例的图形设计。
图5.7 在印度Fakepursikri的镶嵌设计中发现的边界细节，展示了中点旋转(12)线性对称的例子
图5.8。显示中点旋转(12)线性对称示例的图形设计
3.滑移线性对称(1g，或P11g)
对于滑移线性对称群(1g)，主单元水平、垂直或对角滑移。根据滑移的方式，会产生四种图案。
如上图所示，当滑移发生在单元格的两侧之一或顶部或底部时，会出现两种图案。当单元格对角滑移时，会出现两种附加图案(此处未显示)。(参见第21页。)参见第42页的滑移(pg)对称性。
图5.9 滑移 (1g)线性对称
图5.10显示了滑移线性对称的例子，滑移线性对称的织物示例
4.垂直镜像线性对称(m1，或P1m1)
在垂直镜像(m1)对称组中，两个单元组成拼块。这两个单元镜像在四个边中的一个边上，产生两种可能的图案——一种是镜像一个边，另一种是镜像顶部或底部。镜像拼块继续单列以产生图案。
图5.11 垂直镜面线性对称（m1）
图5.12和5.13显示了垂直镜像(m1)线性对称的其他示例。
图5.12 印度斋浦尔一个阳台边缘的边界细节显示了垂直镜面(m1)线性对称。
图5.13 显示垂直镜像(m1)线性对称示例的织物设计。
5.水平镜面线性对称(1m，或P11m)
两个单元也构成水平镜像(1m)线性对称组中图案的平铺。但是这一次，不是把拼块纵向首尾相连，而是把它们翻转过来，横向拼在一起。因此，图案是两个单元宽，而不是一个单元宽。
由于拼块旋转形成图案的方式，四种不同的设计可以利用这种对称性产生。单元的每一侧可以被镜像，并且每组镜像对将产生不同的图案。
图5.14 水平镜面(1m)线性对称。
图5.15展示了水平镜像(1m)线性对称的例子，织物设计包含两个不同的水平镜像(1m)线性对称边界。
6.滑移镜像线性对称(mg，或P2mg)
四个单元构成了滑移镜像(mg)线性对称组中图案的平铺。为了使用这种对称性创建平铺，镜像两个单元，然后水平移动另一组相同的镜像单元并垂直翻转。正如在水平镜像对称中一样，单元的所有四个侧面可以被镜像以产生四种完全不同的图案。
图5.16 滑移镜像(mg)线性对称。
图5.17和图5.18显示了滑移镜(mg)线性对称产生的图案示例。
图5.17 印度Fakepursikm的石制品是用滑移镜面(mg)线性对称产生的图案的一个例子。
图5.18 展示滑移镜面(mg)线性对称示例的织物设计。
7.双镜像线性对称(mm，或P2mm)
最后一个线性对称组需要四个单元来制作重复的拼块。这种对称中既有垂直的镜子，也有水平的镜子。镜像两个单元，然后再次镜像这两个单元。单元的每一侧可以被镜像以产生四种不同的图案。
根据单元的哪一侧具有反射镜，可以形成四种不同的图案。
图5.19 双镜面(mm)线性对称。
图5.20 织物边界设计展示了双镜面(mm)线性对称的例子。
青山不改，绿水长流，在下告退。
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