等差数列里有无穷多的质数吗？—— 狄利克雷定理

你是否考虑过这样一个问题：任意的等差数列里，存在无穷多的质数吗？

人们很久以前就知道存在无穷多的质数，关于这个结论，欧几里得留下了一个经典的证明，相信绝大多数读者都知道这样一个使用反证法的证明。

接下来就产生一个问题，等差数列里，是否存在无穷多个质数？比如，如果等差数列的通项公式是4n+1，这个数列的前几项就是：

5, 9, 13, 17...

看上去里面质数不少。如果是4n+3的话，这个数列的前几项是：

3, 7, 11, 15, 19...，看上去质数也不少。

我们可以把前一数列里出现的质数叫做“4n+1型”质数，后者叫做“4n+3”型质数，也可以叫做“4n-1型”质数，因为对我们所讨论的问题来说，4n-1和4n+3是一回事。那么是否有无穷多的4n+1型和4n-1型质数呢？

问题的答案是肯定的，这两个数列中，都有无穷多的质数。很有意思的是，对以上两个数列，我们有一些初等的，容易理解的，证明结论的方法。特别是证明存在无穷多的4n-1型质数的过程，与欧几里得证明有无穷多个质数的证明有异曲同工之妙，证明方法如下：

用反证法，假设只存在有限多的4n-1型质数，并且假设这个最大的质数4n-1型质数是p。那么我们考虑这样一个数字：

其中的乘积 ，包含所有小于等于p的质数。

显然，这个数字仍然是4n-1型整数。已经假设只有有限多的4n-1型的质数，所以这个4n-1型的整数，就只能是合数。既然它是合数，那么它就必须有若干质因子。而它的质因子要么是4n+1型，要么是4n-1型质数。而这个数字显然不能只有4n+1型的质因子，因为你把若干个4n+1型的质数相乘，所得数字只可能是4n+1型，而绝对乘不出一个4n-1的数字。

所以，它必须有至少一个4n-1型的质因子，但这样就有矛盾了。因为根据它的构造方法，它除以任何一个4n-1型的质数，余数都是1。所以，这就说明，我们最初的假设只有有限的多的4n-1型的质数是有问题的，那么，结果就是，必须有无穷多个4n-1型质数，证明完成！

以上这种证明形式非常巧妙，它也可以用来证明许多其他类型的质数形式。但是，这种证明方法并不是普适的。比如对4n+1的形式数字上，这个方法就有问题了。因为4n+1形式的数字，可以没有4n+1形式的质因子。用偶数个4n-1的数字相乘，可以得到一个4n+1型的数字。所以，以上证明对4n+1形式的数字是不适用的。

证明存在无穷多个4n+1型质数，以下是一种证明方法（来源：“Introduction to Analytic Number Theory”，Tom M.Apostol, Springer）：

对任何的自然数N，我们证明总有一个质数p>N，且 。考虑这样一个数字：

让p是m的最小质因子。因为2,3,...N都不能整除m，所以p>N。并且：

同余式两边的指数同时提升 ， 可得：

根据费马小定理， ，所以：

另一方面： 只可能等于0或-2。但根据上式，因为p不能整除-2，所以它不可能是-2。所以：

，这意味着 是偶数，则: 。所以，对任意的自然数N，总有一个质数p>N，且 。所以存在无穷多的4n+1型质数。

虽然有其他的简便方法来证明存在无穷多的4n+1类型的质数，但我们希望的是，能够证明一般的形式下的命题，即对任何 形式的等差数列，其中有无穷多的质数。当然，这里有个条件是k,b互质。若k与b不互质，则数列里显然都是合数。所以，本文所说的等差数列，只考虑k,b互质的情况。

这个一般形式的命题，在1837年，被德国数学家彼得·狄利克雷证明，现在被称为狄利克雷定理。狄利克雷所证明结果，实际上是欧拉曾经证明过的一个命题的加强版。欧拉曾经证明过，全体质数的倒数和是发散的：

发散。

这个结论并不是明显的。你若用程序去计算这个累加，其数值的增加是非常缓慢的。其实，对于结论：全体自然数的倒数和发散，对很多人来说，已经不是那么明显了。全体自然的倒数和，也被称为“调和级数”，它的前n项的和约等于 。

而 以内的质数倒数和，它的数值约等于 。它虽然发散，但是它的增长已经慢得惊人了。比如前1百万以内的质数的倒数和，它约等于 。

所以，欧拉关于质数的倒数和发散的这个结论，是很强的结论，它也间接得再一次证明，存在无穷多的质数。

而狄利克雷的证明，则把欧拉的结论进一步加强，哪怕不是全体质数，只取 形式的质数，比如全体4n+1形式的质数的倒数和，它仍然是发散的：

发散。

当然，它发散的速度就会更慢了（也许你能猜到它的增长速度约为 ）。

既然 形式的质数倒数和发散，那么就证明了存在无穷多个 形式的质数。并且狄利克雷还顺带证明了， 形式的质数，对特定的k和不同的b，其中的质数数量差不多。

比如， 和 型质数数量都是差不多的，因为它们的倒数和增长速度是一致的。同样 , , , 型的质数数量也都差不多，这个结论还是很令人欣慰的，说明质数并不是那么不可捉摸。

狄利克雷的证明过程相当复杂，它的基本技巧是引进了一个称为“狄利克雷特征”（Dirichlet Characters）的函数。狄利克雷特征是一种非常有用和有意思的函数，这里稍微介绍一下“狄利克雷特征”。

“狄利克雷特征”是一种函数，所以它有定义域和值域。它的定义域是全体自然数，对于值域，让我们只关心取值为实数的狄利克雷特征。而当值域被限定在实数上时，它的函数值只有三种可能：0, 1和-1。

狄利克雷特征的最大特点就是：它是一种完全积性函数。积性函数的定义是：

对于任何互质的m, n, 都有 ，则称 是积性函数。

如果将上述条件中的“互质”二字去掉，则称 是完全积性函数。

当某个函数的函数值只有0,1,-1三种可能时，看上去它就能比较容易成为一种积性函数。因为0, 1，-1这三个数字互相乘来乘去，其结果只可能是0, 1，-1这三个数字。

另外，我们通常用希腊字母 （发音：kai)来表示狄利克雷特征函数，因为 的发音与“特征”一词（character）的英语发音相近。

那么请思考一下，当规定函数值是这三个数字的情况下，怎么能定义出一种有意思的积性函数 ？当然，规定 是可以的，但是这种函数没啥意思。

如果规定 ，它的意思也不大，但它确实接近一种狄利克雷特征的定义，称为“本原狄利克雷特征” （Primitive Dirichlet Character）。它的确切定义如下：

对某个自然数k，如果n与k互质，则 ，否则 。

比如，当 时：

， 而 。

可以验证，以上定义下， 是一个完全积性函数。

以上的狄利克雷特征定义略微平凡了些，有意思的是，对任何k>2，都至少有一种（实际上，k为质数时，恰好有一种）不平凡的实数值狄利克雷特征函数，比如k=5时：

请验证如上定义的 是完全积性函数。再比如k=7时：

以上函数值表的构造过程，这里不便赘述，要点就是同余运算，这样能确保产生积性函数。

而狄利克雷特征函数的一个神奇特性是，如下的级数求和，极限不为0：

以上级数现在被称为“狄利克雷L级数”。因为 有时是+1，有时-1，所以，感觉以上的级数求和，很像会趋于0。但是狄利克雷证明了，对任意的 ，L级数不为0。而确切的求和数值，可以得到一些很奇妙的数字。比如对上述k=5时的 ：

比如对上述k=7时的 ：

其他一些L级数值：

（上图：其他一些L级数值。其中的L的下标是函数的“周期”，即之前说的k。图片来源：https://mathworld.wolfram.com/DirichletL-Series.html）

狄利克雷利用狄利克雷特征和L级数求和不为0的特性，证明了所有 形式的质数的倒数和是发散的，那么也就证明了任意 形式的等差数列里，存在无穷多质数。这个证明是当时数论领域中的一大进展。

既然等差数列里会有无穷多的质数，那么会有任意长度的质数等差序列吗？这个问题在2004年，被数学家本·格林(Ben Green)和陶哲轩证明为真，现在被称为“格林-陶定理”。

但是，他们的证明只是存在性的，要找到具体的等差质数序列，是非常困难的。目前已经找到的最长的质数等差数列，长度达到26:

其中n取1到26。

最后，来看看狄利克雷定理和格林-陶定理的一些扩展。格林——陶定理是“埃尔德什等差数列猜想”的特例：

如果一个数列中的数字倒数和发散，那么其中就有任意长的等差数列。

那么因为质数倒数和发散，“格林——陶定理”符合埃尔德什等差数列猜想。格林——陶定理也同时证明了，对任意的k，存在任意长的 型质数的等差数列。

而埃尔德什等差数列猜想则说，不管数列是怎么样定义的，只要其中数字倒数和发散，其中就有任意长的等差数列。这个猜想前提很少，结论很强，有一点从“无序”中发现“有序”的感觉。埃尔德什曾经出价5000美元，悬赏求证这个命题。考虑到埃尔德什对一般问题的出价也就是几十到几百美元，可以看出他认为这个命题是非常困难的。

那么，既然考虑过等差数列，我们可以考虑其他形式的数列里，是否存在无穷多的质数。比如 形式的数字里是否有无穷多的质数呢？很意外，这个命题看上去很简单，但目前仍然是未证明的命题。有意思的是，我们已经知道存在无穷多的 和 形式的质数。

以上这些情况，都表明，质数是数学里非常困难的命题，还有无穷无尽的猜想需要人类去解决。