作者：zhuozhi

来源：凯恩之角

暗黑2.4版本更新加强了野蛮人的投掷玩法，其中非常有趣的一点是投掷专精有几率不消耗数量，暴击还能回复数量，这让无形黄标枪成为版本热门武器，只要提升准确率/暴击率/穿透/操作熟练度，大家的感觉是标枪好像永远也丢不完。

我相信很多人思考过这个问题，虽然我的标枪回复概率足够高，但是有没有可能运气不好一不小心扔完了呢？毕竟在罗格营地也经常看到有人把标枪扔完了。所以我想写篇分析，详细解答这个问题。

首先，结论看上去有点惊悚：

结论1：在无形投掷武器有数量上限的前提下，只要你扔的次数足够多，你的无形投掷武器是100%会被扔完的 （即使你有99%的概率增加数量，只有1%的概率减少数量也是如此）

结论1听上去有点吓人，没关系，还有结论2

结论2：如果回复数量的概率p高于0.5，耗尽标枪的会随回复概率p近似于指数增长，所以耗尽次数可能是100亿次或者更多，所以正常情况下，是不用担心把标枪耗完的

而且实际操作中，总有补救的办法，标枪快扔完了的时候，可以尽量堆100%致命，100%穿刺和95AR，找准一堆怪去穿透，只要不是太粗心大意，是几乎不可能真的把标枪扔没的（真扔没的概率比中彩票低多了）

（以下的分析对玩游戏没有帮助，不感兴趣请跳过，慎重阅读）

我们做了以下假设, 来计算标枪耗尽的概率P和把标枪耗尽时的平均投掷次数的期望N

1. 假设每次投掷的面临的情况相同

2. 只考虑投掷标枪增加或者减少的情况，记为常数p和常数q, p+q=1，如果投掷标枪数量不变，不计入投掷次数

3. 为了计算简便，假设无形标枪的初始数量是满的，即标枪上限K，初始标枪数量也为K>0

我们大概会得到以下结论

当标枪数量的上限K有限时

1. p<0.5，P = 1 （一定会耗尽标枪），N的增长速率是K的线性函数（p趋向于0）到二次函数（p趋向于0.5）之间，极端情况，p=0, N=K (没有回复概率，丢K次标枪耗完，N随K线性增长）

2. p=0.5, P = 1 (一定会耗尽标枪）, N的增长速率是K的二次函数

3. p>0.5, P = 1 (一定会耗尽标枪）, N的增长速率是K的二次函数到 x的K次函数 （接近于指数函数），而且N一定小于 1/(q)的K次幂+K

当标枪数量的上限是无穷大时，仍然假设初始标枪数量为K

1 结论不变

2 p=0.5, P=1 (一定会耗尽标枪）， 平均耗尽标枪的期望N等于正无穷 （P=1， N=无穷，非常反直观）

3 p>0.5, P<1 (终于不一定会耗尽标枪了）， 平均耗尽标枪的期望N等于正无穷

（有空会慢慢更新推导过程，涉及一定深度的概率论，马尔科夫链，随机积分等等，这是个披着游戏外衣的一维随机游走问题）