大家好！本文和大家分享一道2006年广东高考数学真题。这是2006年广东高考理科数学的第一道解答题，难度不大，综合考查了三角函数的诱导公式、辅助角公式、正弦型三角函数的性质、二倍角公式等知识。如果当年这道题都不会，那么考大学就难了。
先看第一小问：求函数的最小正周期。
要求三角函数的最小正周期，我们需要先将这个三角函数化为“同一个角、同一个函数名称的一次函数”的形式。题干中给出的解析式虽然是同函数名称和一次，但是出现了两个角，所以我们需要利用诱导公式将sin(x+π/2)进行转化，即sin(x+π/2)=cosx。
这样处理后，角变成相同了，但是函数的名称又不同了，出现了“同角异名”的形式，所以需要再用辅助角公式(即asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a)进行变换，从而得到f(x)=√2sin(x+π/4)。最后根据正弦型函数的性质可知，最小正周期为T=2π/|ω|=2π/1=2π。
再看第二小问：求函数的最值。
第一小问中已经将函数变换为f(x)=√2sin(x+π/4)，根据正弦型函数的性质可知，-1≤sin(x+π/4)≤1，所以-√2≤f(x)≤√2，即f(x)的最大值为√2，最小值为-√2。
最后看第三小问：求sin2α。
由f(α)=3/4可得：sinα+sin(α+π/2)=3/4，即sinα+cosα=3/4。又因为sin2α=2sinαcosα，于是有些同学就想先求出sinα和cosα的值再代入二倍角公式。这样做不是不可以，但是整个过程计算量就增大了，所以我们在解题过程中需要边做边思考。
由于已经得出了sinα+cosα=3/4，那么我们能不能直接变换出sinαcosα的形式呢？当然可以，那就是将上式两边同时平方，并结合同角三角函数的平方关系就可以得到1+2sinαcosα=9/16，则sin2α=2sinαcosα=-7/16。
另外，第三小问还可以这样做。由f(α)=3/4可得，f(α)=√2sin(α+π/4)=3/4，所以由二倍角公式可得，cos(2α+π/2)=1-2[sin(α+π/2)]^2=1-(3/4)^2=7/16。再根据诱导公式可知，sin2α=-cos(2α+π/2)=-7/16。
这道题考查的都是三角函数的基础知识，难度不大。即使对于现在的学生来说，如果想考上大学，这类题也是必须掌握的。那么，你会做吗？
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