知乎上看到这样一个问题:
...... 是否存在一个时钟,使得时分秒三针长度都是整数长度,而且可以在某一时刻,三根表针的针尖正好构成一个正三角形的三个顶点?
问题的背景是:已知时钟的三根针无法形成互相之间呈120°角的状态,所以当三根针等长时,时钟针尖无法形成正三角形。而三根针长度不同时,是否还有可能形成正三角形呢?
原题比较开放,特别是未指定三根针的长度比例。恰好我发现我身边多数的钟,分针与秒针的长度是一样的:
![](http://dingyue.ws.126.net/2022/0811/de259729j00rgfcei007md200de00c7g00de00c7.jpg)
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另外,题主要求三根针的长度都是整数,所以不妨假设时针、分针和秒针的长度比是1:2:3。那么形成正三角形时,时针必然在中间。我们希望算出出现正三角形时,时针与分针和秒针的角度,所以作图如下:
![](http://dingyue.ws.126.net/2022/0811/da5ef6a9j00rgfcel000cd200a600eig00a600ei.jpg)
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其中DA是时针,DB和DC是分针,△ABC是正三角形,长度k=1,长度i=j=2。要求出α角的大小,使用余弦定理,可以列出以下方程组:
△DAB中使用余弦定理:
△DBC中使用余弦定理:
因为h=f,所以问题变为解方程:
通过倍角公式可以解出 的值,或者你像我一样懒的话,直接丢给wolfram alpha求解:
![](http://dingyue.ws.126.net/2022/0811/4adb9f3fj00rgfcel000cd200es008gg00es008g.jpg)
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将弧度0.270919划为度数, 约为15.5°
这样一来就简单多了,假设时间是x时y分z秒,时针相对于12点的夹角是:
分针的夹角是: ,
秒针的夹角是: ,
那么问题就变为解这样一组方程组:
![](http://dingyue.ws.126.net/2022/0811/b82086adp00rgfcel0004d200a6002dg00a6002d.png)
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那么同样丢给wolfram alpha求解比较快:),比如 x=2时:
![](http://dingyue.ws.126.net/2022/0811/b4c04628j00rgfcem000id200ha007og00ha007o.jpg)
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依次将x=0到11间的整数代入,可以得到以下10组解:
![](http://dingyue.ws.126.net/2022/0811/63f397e0j00rgfcem0008d2006y006yg006y006y.jpg)
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如果翻转分针和秒针位置,同样可以得出另外10组解,留给读者自行计算。
另外,尝试了一下,当三根针的长度比例是1:2:3的情况,发现此时三针的夹角恰为60°,可以得到更为漂亮的图形。其中一个解是:
![](http://dingyue.ws.126.net/2022/0811/6e789581j00rgfcer003ld200nn00lwg00i900gw.jpg)
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