大家好！本文和大家分享一下这道2015年四川高考理科数学的压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数单调性、导数与函数的最值、导数与函数的零点以及分类讨论等知识，题目的难度很大，全班50人没有一人得到满分，甚至很多同学一分未得。

先看第一小问：讨论函数的单调性。

判断函数单调性的方法很多，比如定义法、图像法、利用单调性的性质判断、复合函数单调性的判断以及万能的导数法。遇到函数解析式比较复杂时，我们通常都是采用导数法来判断单调性。利用导数判断函数单调性的原则如下图：

回到题目。我们先对f(x)求导，从而得到g(x)=f'(x)=-2lnx-2-2a/x+2x-2a，接着再对g(x)求导，得到g'(x)=-2/x+2a/x^2+2=2(x^2-x+a)/x^2。接下来就需要我们求出g'(x)为正和为负时x的取值范围。

观察一下g'(x)的表达式，由于分母x恒大于0，所以我们只需要讨论多项式x-x+a的正负即可。

令t=x^2-x+a，则t为开口向上的二次函数，所以当a≥1/4时，△≤0，即t≥0恒成立，所以此时g(x)为增函数。

当0＜a＜1/4时，△＞0，此时t的图像与x轴有两个交点，那么我们就要判断出这两个交点的位置，特别是要判断这两个交点在坐标原点的左侧还是右侧。

综合上面的情况，最终讨论得到g(x)的单调性。

再看第二小问：证明。

这一问的证明包含两个部分。要证明存在0＜a＜1使得f(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，那么只需要证明f(x)的最小值都大于等于零即可；而要证明f(x)=0只有唯一解，那么只需要证明f(x)在(1,+∞)只有一个零点即可。

根据第一小问的结论可以知道，f'(x)在(1,+∞)上是单调递增的，而f'(1)＜0，f'(+∞)＞0，所以存在唯一实数x0＞1，使得f'(x0)=0。从而可以得到f(x)在(1,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增。那么f(x)=0有唯一解就转化为f(x)的图像只有一个零点，即f(x)的最小值为零，即f(x0)=0。

然后联立f'(x0)=0和f(x0)=0，并且变换主元为a，从而用x0表示出a。接下来再对a进行分类讨论，从而证明存在实数a满足条件即可。

作为压轴题，这道题的难度确实比较大，但是如果放在平时，很多同学还是能够顺利做出第一问的。这道题就和大家分享到这里。