不等式是高中数学中非常重要的一部分内容，其中也蕴含了许多非常有趣的问题.今天大小吴就和同学们一起来研究其中一种不等式—— 糖水不等式 .

1 什么是糖水不等式？

假如现在有一份质量为 a 克的糖水，其中含有 b 克糖（ a＞b＞0 ），则易知糖的质量与糖水质量的比为 b/a.

若再向其中添加m克糖（m＞0），则这个比将变为

一个显然的生活常识是：在添加的糖完全溶解的情况下，糖水会变甜，即

于是我们根据这个实际背景，可以提炼出一个不等式：

这便是 糖水不等式 的由来.

另外，如果考虑两杯浓度不同的糖水，一杯较淡，一杯较浓，那么混合后的糖水一定是比浓的更淡，同时又比淡的更浓，这样可以得到 糖水不等式的推论 ：

糖水不等式也可以理解为 真分数 的性质，对于一个真分数 b /a， 分子分母同时加上一个正数m ，那么该分数就会变大，且所加的正数 m 越大，分数就越大，最终会无限趋近于1.

其中

2 证明

我们知道，在数学中如果仅仅依靠“生活常识”是绝对不行的，上述糖水的例子充其量只是对不等式进行了直观的“解释”，而不能称为严格的证明.想要证明这个不等式，其实也是容易的.

除了作差，我们也可以作商

另外，我们也可以通过数形结合的方式理解糖水不等式：

如图，易知

3 生活中的糖水不等式

糖水不等式在生活中有许多有趣的应用，我们来一起看一看：

案例1：升煤油中加入升水，液体密度会变大.

这是一个显而易见的事实，那么如何通过数学来解 释呢？

首先，我们知道

因此，由糖水不等式可得

显然，混合后液体的密度是会变大的.

案例2：糖水不等式与数学小魔术.

请你现在想两个在1~10之间的正整数，然后按照如下规则填入下表中：第一格和第二格从小到大填这两个数字，第三格填第一格和第二格中数字的和，第四格填第二格和第三格中数字的和，依此类推...

比如说，你心里想的是4和6，那么表格就应该是这样：

现在如果你告诉我第10个数，我一定能知道第9个数！你知道我是怎么猜到的吗？

假设你最初在表格中填写的数为 a 和 b ，那么表格将变为

观察表格中第9个数和第10个数的比值，由 糖水不等式的推论 可知

也即（约等于）

那么

所以我只要将表格中第10个数乘以 0 .618 ，再四舍五入便可得到第9个数字了.

有同学可能已经想到其实这就是斐波那契数列，而这个魔术的原理便是运用到了斐波那契数列的性质.

案例3：糖水不等式与爱情.

男孩爱慕着女孩，尽管这位男生在年龄上比女生小了整整两岁.男生依然深情地对女生说：“亲爱的，我1个月大时，你25个月，我是你 的1/25 ；我9个月大时，你33个月，我是你的3/11；我3岁时，你5岁，我是你的3/5；现在我20岁，你22岁，我是你的10/11.只要我们永远在一起，我们总是在慢慢接近……”

多么可爱的男生，不仅懂爱情，更懂数学！用数学表达爱意，是多么诗意又浪漫的一件事！

参考文献
[1]彭翕成，杨春波，程汉波.不等式探秘[M].湖南科学技术出版社,2015.

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来源：大小吴的数学课堂

编辑：TT

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