- 函数周期性的定义
函数周期性的定义:若存在一非零常数T,对于定义域内的任意x,都有f(x)=f(x+T) 恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
函数的周期性同样可以从“形”的角度理解,在f(x)的图像中,任意两点(x,f(x))和(x+T,f(x+T)),横坐标方向上距离相差T的两个点,它们的纵坐标方向等高,即函数的图像会重复出现,因此函数具有一定的周期性,且函数的周期为T。
- 函数周期性重要说明
(2) 由周期函数的定义可知,0不能作为函数的周期;
(3) 如果T是f(x)是它的一个周期,那么-T也是f(x)的周期,即周期可以为负值;
(4) 如果T是f(x)是它的一个周期,那么nT也是f(x)的周期,即周期函数有无数个周期;
(5) 如果f(x)为周期函数,且所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期;
(6) 周期函数f(x)不一定含有最小正周期,如常数函数,它的周期为任意实数;
- 周期函数常见的重要结论
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对结论1进行证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/413403afp00rq6pcc0009c000g1003lm.png)
对结论2进行证明:
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对结论3进行证明:
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对结论4进行证明:
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对结论5进行证明:
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对结论6进行证明:
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对结论7进行证明:
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- 函数对称性
函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需分析函数一侧的性质即可,从而得到整个函数的性质。主要体现在以下几点:
(1) 函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称;
(2) 可利用对称性求得某些点的函数值;
(3) 在作图时,只需要作出一侧的图像,另外一侧利用对称性即可画出;
(4) 极值点关于对称轴或者对称中心对称;
(5) 在轴对称的函数中,关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的;在中心对称的函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。
- 轴对称
函数轴对称的定义:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
轴对称常见的形式:
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备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于x=0对称 ,则此时f(x)为偶函数
下面只对结论③进行证明:
从“数”的角度证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/4244b051j00rq6pcc000vc000k000dkm.jpg)
从“形”的角度证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/a785e3e6j00rq6pcc001dc000jw00mcm.jpg)
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/b4ac0649j00rq6pcc000gc000i600dom.jpg)
- 中心对称
函数中心对称定义:
如果一个函数的图像沿一个点旋转180°,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
中心对称常见的形式:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/40466a87j00rq6pcc0016c000kc00e8m.jpg)
备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于原点对称,则此时f(x)为奇函数
下面只对结论③进行证明:
从“数”的角度证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/64e0ab2fj00rq6pcc0010c000js00dkm.jpg)
从“形”的角度证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/a3b36fcdj00rq6pcc0016c000ju00jom.jpg)
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/98238fb3j00rq6pcc000hc000ge00cym.jpg)
- 函数对称性与奇偶性的关系
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对结论①进行证明:
从“数”的角度进行证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/0abf195aj00rq6pcc000fc000js006um.jpg)
备注:要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反
从“形”的角度进行证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/c8d799f6j00rq6pcc000xc000jw00d0m.jpg)
对结论②进行证明:
从“数”的角度进行证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/471a0ce4j00rq6pcc000ec000jw0062m.jpg)
备注:要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等
从“形”的角度进行证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/af644f2aj00rq6pcc000wc000jw00d6m.jpg)
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/633e2cfbj00rq6pcc0018c000ka00dum.jpg)
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- 函数周期性与对称性的关系
函数周期性与对称性的关系的重要结论
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- 周期性和对称性的快速判定
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/fe9a40e7j00rq6pcc001hc000ym0078m.jpg)
快速判定口诀:内同(符号)表示周期性;内反表示对称性;
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/9607f2c5j00rq6pcc001ac000ke00dum.jpg)
对结论①进行证明:
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对结论③进行证明:
![](http://dingyue.ws.126.net/2023/0217/9f853d89j00rq6pcc000yc000js00hym.jpg)
由于奇、偶函数同样具有对称性,因此根据上述结论还可得如下关系:
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